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相关试卷

1、下列函数是周期为 $π$ 的偶函数是（）

A、 $y = \sin x$ B、 $y = |\sin x|$ C、 $y = \tan x$ D、 $y = \cos x$

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2、已知角 $α$ 的终边经过点 $P (- 1, 2)$ ，则 $\cos (π + α)$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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3、 $\vec{A B} + \vec{B C} - \vec{D C} =$ （）

A、 $\vec{A B}$ B、 $\vec{D A}$ C、 $\vec{A D}$ D、 $\vec{B A}$

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4、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a, b > 0)$ 左顶点为 $A$ ，右焦点为 $F$ ，以 $A F$ 为直径的圆与双曲线 $C$ 的右支相交于 $M, N$ 两点．若四边形 $A M F N$ 是正方形，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $2 \sqrt{2} + 1$ B、 $2 + \sqrt{3}$ C、 $2 + \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{3} + 1$

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5、设随机变量 $X \sim B (12, p)$ ，若 $E (X) \leq 4$ ，则 $D (X)$ 的最大值为．

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6、若 $|\vec{a}| = 2, |\vec{b}| = 4$ ，向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{b}$ 的夹角为 $120 °$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $- \frac{3}{4} \vec{b}$ B、 $- \frac{1}{2} \vec{b}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{b}$ D、 $- \frac{1}{4} \vec{b}$

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7、已知① $a = 2$ ， ② $B = \frac{π}{4}$ ， ③ $c = 2 \sqrt{3} b$ 在这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中，并解决该问题．
在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且满足 $(b - a) (sin B + sin A) = c (\sqrt{3} sin B - sin C)$
（1）求角A的大小；
（2）已知_______，_______，若 $△ A B C$ 存在，求 $△ A B C$ 的面积；若不存在，说明理由．

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8、如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $A B = 4 \sqrt{3}, A D = 6, ∠ D A B = 30 °, ∠ B C D = 120 °$ ．

(1)、当 $B C = C D$ 时，求四边形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 和 $B D$ 的长度；

(2)、设 $∠ C B D = θ$ ，记四边形 $A B C D$ 的面积为 $f (θ)$ ，求的表达式，并求出它的最大值．

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9、已知 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c,$ $\vec{m} = (2 cos C, a cos B + b cos A),$ $\vec{n} = (c, - 1)$ ，且 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ ．

(1)、求角 $C$ ；

(2)、若 $c = \sqrt{3}, a + b = 2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 边 $A B$ 上的高 $h$ ．

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10、（1）已知：复数 $z = {(1 + i)}^{2} + \frac{2 i}{1 - i}$ ，其中 $i$ 为虚数单位，求 $z$ 及 $|z|$ ；
（2）若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + m x + n = 0$ 的一个根是 $1 + \sqrt{2} i$ ，其中 $m, n \in R$ ， $i$ 是虚数单位，求 $m - n$ 的值．

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11、如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为海里.

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12、向量 $\vec{a} = (x, 1), \vec{b} = (2, y), \vec{c} = (- 2, 2)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{c}, \vec{b} ∥ \vec{c}$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b}| =$ .

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13、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ， $a \sin B = b \sin \frac{B + C}{2}$ ， $a = 3$ ， O为 $△ A B C$ 外接圆圆心，则下列结论正确的有（）

A、 $A = \frac{π}{3}$ B、 $△ A B C$ 外接圆面积为 $12 π$ C、 $\vec{B O} \cdot \vec{B C} = \frac{9}{2}$ D、 $S_{△ A B C}$ 的最大值为 $\frac{9 \sqrt{3}}{4}$

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14、下列命题错误的有（）

A、若非零向量 $\vec{A B}$ 与 $\vec{C D}$ 平行，则 $A, B, C, D$ 四点共线 B、若 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| > |\vec{b}|$ 且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 同向，则 $\vec{a} > \vec{b}$ C、若 $x, y \in R$ ，则 $x + y i = 1 + i$ 的充要条件是 $x = y = 1$ D、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则存在唯一实数 $λ$ 使得 $\vec{b} = λ \vec{a}$

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15、已知a， $b \in R$ ， $(a - 1) i - b = 3 - 2 i$ ， $z = {(1 + i)}^{a - b}$ ，则下列说法正确的是（）

A、z的虚部是 $2 i$ B、 $|z| = 2$ C、 $\bar{z} = - 2 i$ D、z对应的点在第二象限

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16、在 $△ A B C$ 中， $S_{△ A B C} = \frac{\sqrt{3}}{6} \vec{A B} \cdot \vec{A C} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $\sin B = \cos A \sin C$ ， $P$ 为线段 $A B$ 上的动点不包括端点，且 $\vec{C P} = x \frac{\vec{C A}}{|\vec{C A}|} + y \frac{\vec{C B}}{|\vec{C B}|}$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{\sqrt{3}}{y}$ 的最小值为（）

A、 $2 + \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ B、 $1 + \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ C、 $2 + \frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $1 + \frac{\sqrt{3}}{3}$

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17、设 $f (n) = {(\frac{1 + i}{1 - i})}^{n} + {(\frac{1 - i}{1 + i})}^{n} (n \in Z)$ ，则 $f (n)$ 可取的值有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、无数个

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18、已知点 $N 、 O 、 P$ 满足 $\vec{N A} + \vec{N B} + \vec{N C} = \vec{0}$ ， $| \vec{O A} | = | \vec{O B} | = | \vec{O C} |$ ， $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = \vec{P B} \cdot \vec{P C} = \vec{P C} \cdot \vec{P A}$ ，则点 $N 、 O 、 P$ 依次是 $△ A B C$ 的（）

A、重心､外心､垂心 B、重心､外心､内心 C、外心､重心､垂心 D、外心､重心､内心

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19、设向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 满足 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1, \vec{a} \cdot \vec{b} = - \frac{1}{2},$ $〈 \vec{a} - \vec{c}, \vec{b} - \vec{c} 〉 = 60 °$ ，则当 $|\vec{c}|$ 的最大值时，共起点的向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 的终点所构成的三角形为（）

A、直角三角形 B、等腰三角形 C、等边三角形 D、钝角三角形

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20、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $a^{2} + b^{2} = 2023 c^{2}$ ，则 $\frac{\tan C}{\tan A} + \frac{\tan C}{\tan B} =$ （）

A、 $\frac{1}{1011}$ B、 $\frac{1}{1012}$ C、 $\frac{1}{2023}$ D、 $\frac{2}{2023}$

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