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相关试卷

1、 $\sin^{2} θ + \cos^{2} (\frac{π}{6} + θ) + \sin θ \cos (\frac{π}{6} + θ)$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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2、已知l，m是两条不同的直线， $α$ 为平面， $m \subset α$ ，下列说法中正确的是（）

A、若 $l / / α$ ，则 $l / / m$ B、若 $l$ 与 $α$ 不平行，则 $l$ 与 $m$ 一定不平行 C、若 $l ⊥ α$ ，则 $l ⊥ m$ D、若 $l$ 与 $α$ 不垂直，则 $l$ 与 $m$ 一定不垂直

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3、在 $△ A B C$ 中， $\tan A = \frac{1}{4}, \tan B = \frac{3}{5}$ ，若 $△ A B C$ 最长边的长为 $\sqrt{34}$ ，则最短边的长为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、3

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4、某校文艺部有5名学生，其中高一年级有3名、高二年级有2名.从这5名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）

A、 $\frac{1}{10}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{3}{10}$ D、 $\frac{3}{5}$

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5、若复数 $z$ 满足 $z (1 + i) = 2 i (i$ 为虚数单位)，则 $| \bar{z} | =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{5}$

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6、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1， $E$ 是 $D D_{1}$ 的中点，则（）

A、 $B_{1} C ⊥ B D_{1}$ B、三棱锥 $C_{1} - B_{1} C E$ 的体积为 $\frac{1}{6}$ C、若 $P$ 在底面 $A B C D$ 内（包含边界）运动，且满足 $D P = 1$ ，则动点 $P$ 的轨迹的长度为 $π$ D、由 $B_{1} 、 C 、 E$ 三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为 $\frac{3 \sqrt{2}}{2} + \sqrt{5}$

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7、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{2}$ ，点 $O$ 为坐标原点，过 $C$ 的右焦点的直线 $l$ 交 $C$ 的右支于 $P, Q$ 两点，当 $l ⊥ x$ 轴时， $|P Q| = 2 \sqrt{2}$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、过点 $P$ 作直线 $x = 1$ 的垂线，垂足为 $N$ .
①证明：直线 $Q N$ 过定点；
②求 $△ O Q N$ 面积的最小值.

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8、将函数 $f (x) = \sin (2 x + φ)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度得到 $g (x)$ 的图象.若 $g (x)$ 的图象关于y轴对称，则 $|φ|$ 的最小值为.

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9、已知函数 $f (x) = \frac{x + 1}{e^{x - 1}} - a x - 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增，则 $a \leq - 1$ B、若 $0 < a < 2$ ，设 $f (x) > a - 1$ 的解集为 $(m, n)$ （ $n > m$ ），则 $n - m > 2$ C、若 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1} ， x_{2}$ ，且 $x_{2} > 2 x_{1}$ ，则 $a \in (- \frac{e \ln 2}{2}, 0)$ D、若 $a = 1$ ，则过 $(0, 3)$ 仅能做曲线 $y = f (x)$ 的一条切线

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10、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2} + 4 x, x > 0 \\ ln (- x + 1) + 3, x \leq 0 \end{array}$ ，函数 $g (x) = f (f (x)) - m$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $m = 0$ ，则 $g (x)$ 有1个零点 B、若 $m = 3$ ，则 $g (x)$ 有6个零点 C、若 $g (x)$ 有5个零点，则 $m$ 的取值范围为 $(0, 3)$ D、 $g (x)$ 一定有零点

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11、已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图像如图所示，下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的图像关于直线 $x = \frac{7 π}{12}$ 对称 B、 $f (x)$ 的图像关于点 $(- \frac{π}{3}, 0)$ 对称 C、将函数 $y = 2 cos 2 x$ 的图像向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度得到函数 $f (x)$ 的图像 D、函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{2}, 0]$ 的值域是[ $- \sqrt{3}, \sqrt{3}$ ]

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12、已知函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 是定义在 $R$ 上的函数，它们的导函数分别为 $f^{'} (x)$ 和 $g^{'} (x)$ ，且满足 $f (x) + f (6 - x) = 2, f (x) = g (3 - x) - 5$ ，且 $f^{'} (x) - g^{'} (x - 1) = 2, f^{'} (3) = - 1$ ，则 $\sum_{k = 1}^{2024} g^{'} (k) =$ （）

A、1012 B、2024 C、 $- 1012$ D、 $- 2024$

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13、若 $α + β = \frac{3 π}{4}, tan α = 2$ ，则 $\frac{sin (α - β)}{cos (α - β) - sin α sin β} =$ （）

A、1 B、-1 C、2 D、-2

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14、已知幂函数 $f (x) = (m^{2} + 2 m - 2) x^{m + 2}$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增，则m的值为（）

A、1 B、-3 C、-4 D、1或-3

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15、命题 $\forall x > 1$ ， $x^{2} - x > 1$ 的否定是（）

A、 $\exists x > 1$ ， $x^{2} - x \leq 1$ B、 $\exists x \leq 1$ ， $x^{2} - x > 1$ C、 $\forall x > 1$ ， $x^{2} - x \leq 1$ D、 $\forall x \leq 1$ ， $x^{2} - x > 1$

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16、下列命题正确的是（）

A、 $\forall x \in N$ ， $x^{3} > x^{2}$ B、 $\exists x_{0} \in R$ ， $x_{0}^{2} + 2 x_{0} + 3 = 0$ C、“ $x > 1$ ”是“ $x^{2} > 1$ ”的充分且不必要条件 D、若 $a > b$ ，则 $a^{2} > b^{2}$

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17、如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中， $△ A B S$ 是正三角形，四边形 $A B C D$ 是菱形， $A B = 4$ ， $∠ A B C = 120^{\circ}$ ，点 $E$ 是 $B S$ 的中点．

(1)、求证： $S D / /$ 平面 $A C E$ ；

(2)、若平面 $A B S ⊥$ 平面 $A B C D$ ，求点 $E$ 到平面 $A S D$ 的距离．

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18、已知函数 $f (x) = x \sin x$ ， $g (x) = x^{2} - a x^{3}$ ， $a \in R$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 在区间 $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ 上的单调性.

(2)、已知 $x h (x) = g (x) - f (x)$ .
（i）若函数 $h (x)$ 在区间 $(0, π)$ 上只有一个极值点，求a的取值范围；
（ii）当 $a = \frac{1}{π}$ 时，若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是函数 $h (x) = k$ 的两个根， $x_{1} < x_{2}$ ，且 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ ，证明： $x_{1} > - x_{2}$ .

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19、已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率 $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，短轴长为2， $P (x_{0}, y_{0})$ 是椭圆外一点.

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、若 $P (2, 2)$ ，过点P作直线l与椭圆C相切，求直线l的方程；

(3)、若过点P作椭圆C的两条切线互相垂直，求点P的轨迹方程.

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20、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面ABC是边长为4的正三角形，侧棱 $A A_{1} ⊥$ 平面ABC， $A A_{1} = 4 \sqrt{3}$ ，点D是BC的中点，点F是 $A_{1} B_{1}$ 的中点，点E在AC上，且 $A E = 3 E C$ .

(1)、证明： $B F / /$ 平面 $B_{1} D E$ .

(2)、求平面 $B_{1} D E$ 与平面 $B B_{1} D$ 夹角的余弦值.

(3)、在线段 $A_{1} C$ 上是否存在一点P，使得直线PF与平面 $A_{1} B_{1} B A$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ ？若存在，求出 $A_{1} P$ 的长；若不存在，请说明理由.

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