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相关试卷

1、已知复数 $z_{1} = - 2 + i$ ， $z_{2} = 1 + 2 i$ ，在复平面内，复数 $z_{1}$ 和 $z_{2}$ 所对应的两点之间的距离是（）

A、 $\sqrt{10}$ B、10 C、 $\sqrt{5}$ D、5

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2、设集合 $A = \{1, 2, 3\}$ ， $B = \{(x, y) |x \in A, y \in A, x - y \in A\}$ ，则集合 $B$ 的元素个数为

A、4 B、3 C、2 D、1

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3、某商家为吸引顾客，准备了两份奖品，凡是进店消费即可参与抽奖，奖品被抽完即抽奖活动终止．抽奖的规则如下：在一个不透明的盒子中有放回地取球（小球大小和质地相同），取出红球，则不获奖，取出白球，则获奖．刚开始盒子中有 $2$ 个白球和 $3$ 个红球，参与抽奖的顾客从盒子中随机抽取1个球，若不获奖，则将球放回，该顾客抽奖结束，下一名顾客继续抽奖．若获奖，则将球放回后再往盒子中加 $1$ 个红球，该顾客再继续抽奖．若第二次抽奖不获奖，则将球放回，该顾客只获得一份奖品，抽奖结束，下一名顾客继续抽奖；若第二次抽奖获奖，则该顾客获得两份奖品，整个抽奖活动结束．该活动深受顾客喜欢，假设这两份奖品没被抽完前始终有顾客参与抽奖．

(1)、求第 $2$ 名和第 $3$ 名顾客各抽中一份奖品的概率；

(2)、求这两份奖品都被第 $n$ 名顾客抽取的概率；

(3)、求由第 $k$ 名顾客终止抽奖活动的概率．

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4、（1）过 $△ A B C$ 的重心G作直线l，若l与边 $B C$ 平行，与 $A B, A C$ 分别交于D，E两点，求 $△ A D E$ 与 $△ A B C$ 的面积比；
（2）在 $△ A B C$ 中，若 $\vec{B F} = m \vec{B C}, \vec{A O} = n \vec{A F}$ ，其中 $m, n \in (0, 1)$ ，过O作直线l，与线段 $A B, A C$ 分别交于D，E两点，求证： $(1 - m) \frac{A B}{A D} + m \frac{A C}{A E} = \frac{1}{n}$ ；
（3）在等腰直角 $△ A B C$ 中， $∠ C = \frac{π}{2}$ ， $D, E$ 分别为 $A B, A C$ 的中点，将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 折起，得到四棱锥 $S - B C E D$ ，在二面角 $S - D E - B$ 处于 $[\frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}]$ 过程中，作 $∠ S B E$ 的角平分线交 $S E$ 于点M，记 $B M$ 与平面 $S C D$ 的交点为N，过N作直线l，与线段 $S C, S D$ 分别交于P，Q两点，记四棱锥 $S - B P M Q$ 的体积为 $V_{1}$ ，四棱锥 $S - B C E D$ 的体积为V，求 $\frac{V_{1}}{V}$ 的最小值．

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5、如图，在 $△ A B C$ 中， $C = \frac{π}{6}$ ， $B C = 6, B D$ 是 $∠ A B C$ 的角平分线，且 $C D = 2 \sqrt{3}$ ．

(1)、求 $B D$ ；

(2)、若 $M, N$ 是线段 $B D$ 上动点，且 $∠ M A N = \frac{π}{3}$ ，记 $∠ D A M$ 为 $θ$ ．
（i）用 $\tan θ$ 表示 $D M$ ；
（ii）求 $△ M A N$ 面积的最小值．

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6、在三棱锥 $A - B C D$ 中， $A B = B C = 4, A D = \sqrt{21}, B D = \sqrt{13}, ∠ A B C = 90 °, E$ 是 $A C$ 的中点，且 $D E = \sqrt{5}$ ．

(1)、求证：平面 $A B C ⊥$ 平面 $A C D$ ；

(2)、求直线 $B D$ 与平面 $A B C$ 所成角的正弦值．

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7、已知二次函数 $f (x) = a x^{2} - (2 a + 1) x + 2$ ．

(1)、若 $a = 1$ ，求 $f (x) > 0$ 的解集；

(2)、若方程 $f (2^{x}) = 0$ 在 $x \in [2, 3]$ 上有解，求实数a的取值范围．

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8、2025年是“全民体重管理年”，健康体重成为社会关注的新焦点．为了提升人们体重管理意识和技能，预防控制超重肥胖，某市开展“体重管理知识”宣传活动．举办了“体重管理”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（成绩均为不低于40分的整数）进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图．

(1)、求图中a的值与该样本数据的第60百分位数；

(2)、根据该频率分布直方图，估计1000个参赛选手中有多少人能得60分及以上．

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9、已知函数 $f (x) = (x^{2} - 4 x + a) \sin (a x - \frac{π}{3}) (a > 0)$ 在 $(0, 4)$ 上恰有2个零点，则a的取值范围是．

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10、已知甲，乙两个投篮命中率分别是 $\frac{1}{3}, \frac{1}{2}$ ，并且他们投篮互不影响，每人投篮1次，则恰好有一个人命中的概率为．

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11、计算： $\lg \frac{5}{2} + 2 \lg 2 =$ ．

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12、若球 $O$ 的半径为2， $A B$ 为直径， $O A$ 中点为P，则下列说法正确的是（）

A、球面上任意一点到P距离的最大值为3 B、过P作球O的截面，则截面面积的最小值是 $4 π$ C、若某正方体的外接球是球O，则点P到该正方体各面距离的最大值是 $1 + \frac{2}{3} \sqrt{3}$ D、若某正四面体的外接球是球O，则点P在该正四面体上的轨迹长度是 $\frac{8 \sqrt{5} π}{3}$

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13、已知点 $A (\sqrt{3}, 1), B (1, \sqrt{3})$ ，则以下说法正确的是（）

A、 $| \vec{O A} | = 4$ B、 $(\vec{O A} - \vec{O B}) ⊥ (\vec{O A} + \vec{O B})$ C、 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = 2 \sqrt{3}$ D、 $\vec{O A}$ 在 $\vec{O B}$ 上的投影向量是 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2})$

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14、如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，点P是上底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内的一个动点．设平面 $A D P$ 与平面 $B C P$ 的夹角为 $α$ ，平面 $A B P$ 与平面 $C D P$ 的夹角为 $β$ ，若 $α \geq β$ ，则下图中阴影部分表示P点轨迹的是（）

A、 B、 C、 D、

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15、如图是某函数 $f (x)$ 的部分图象，则该函数最有可能的解析式是（）

A、 $f (x) = \frac{\sin x}{x}$ B、 $f (x) = \sin x + x$ C、 $f (x) = x \cdot \cos x$ D、 $f (x) = \sin x + \sin 2 x$

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16、以下说法正确的是（）

A、 $a^{2} > a + 1$ B、 $a^{2} < a - 1$ C、 $\sin 1 \cdot \cos 1 < \frac{\sqrt{3}}{4}$ D、 $\sin 1 - \cos 1 < \frac{1}{3}$

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17、设样本空间 $Ω = {a, b, c, d}$ 含有等可能的样本点，且 $A = {a, b}, B = {a, c}, C = {a, d}$ ，则 $P (A B C) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{8}$ D、 $\frac{1}{16}$

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18、某次测量中得到的 $A$ 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．若 $B$ 样本数据恰好是 $A$ 样本数据都加2后所得，则 $A 、 B$ 两样本的下列数字特征对应相同的是（）

A、众数 B、平均数 C、中位数 D、方差

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19、已知复数 $z = i (2 - i)$ ，则z在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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20、设集合 $A = \{- 2, 0, 2, 4, 6\}, B = \{x |0 < x \leq 4\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 2, 0, 2, 4}$ B、 ${0, 2, 4}$ C、 ${2, 4}$ D、 $(0, 4]$

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