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相关试卷

1、已知 $sin (α - \frac{π}{6}) = \frac{1}{3}$ ，则 $sin (2 α + \frac{π}{6}) =$ （）

A、 $- \frac{7}{9}$ B、 $\frac{7}{9}$ C、 $- \frac{4 \sqrt{2}}{9}$ D、 $\frac{4 \sqrt{2}}{9}$

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2、已知 $α$ ， $β$ ， $γ$ 是三个不同的平面，l是一条直线，则下列说法正确的是（）

A、若 $α ⊥ γ$ ， $β ⊥ γ$ ，则 $α // β$ B、若 $l // α$ ， $l // β$ ，则 $α // β$ C、若 $l ⊥ α$ ， $l ⊥ β$ ，则 $α // β$ D、若 $l // α$ ， $α // β$ ，则 $l // β$

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3、在 $△ A B C$ 中，若 $\frac{\cos A}{B C} = \frac{\cos B}{A C}$ ，则 $△ A B C$ 的形状是（）

A、等腰三角形 B、等边三角形 C、直角三角形 D、等腰直角三角形

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4、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = - \frac{1}{2}$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a}$ B、 $- \frac{1}{2} \vec{a}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{b}$ D、 $- \frac{1}{2} \vec{b}$

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5、南通轨道交通1号线从南通西站到孩儿巷共 $10$ 个车站，某时刻各站上车的人数统计如下： $10, 20, 30, 40, 40, 50, 50, 60, 60, 70$ ，则这组数据的第 $75$ 百分位数为（）

A、25 B、30 C、55 D、60

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6、已知 $z = \frac{2}{1 - i}$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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7、如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形， $A E ⊥$ 平面ABCD， $C F ⊥$ 平面ABCD， $A B = A E = 2 C F$ ．

(1)、若G为AE的中点，求证： $C G / /$ 平面DEF；

(2)、若多面体ABCDEF的体积为32，
①求CF的长度；
②求二面角 $B － E F － D$ 的余弦值．

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8、已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $\frac{a - b}{c} = \frac{\sin C - \sin B}{\sin A + \sin B}$ ．

(1)、求A；

(2)、若 $b = 4, c = 2$ ， D为BC中点，求线段AD长；

(3)、若该三角形面积为 $2 \sqrt{3}$ ， AD为内角A的角平分线，交BC边于点D，求线段AD长的最大值．

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9、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为菱形， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， E为PD的中点.

(1)、设平面 $A B E$ 与直线 $P C$ 相交于点F，求证： $E F ∥ C D$ ；

(2)、若 $A B = 1$ ， $∠ D A B = 60 °$ ， $P D = 2 \sqrt{2}$ ，求直线 $B E$ 与平面 $P A D$ 所成角的大小.

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10、一座金陵城，半部南京史！六朝古都南京，不仅历史文化底蕴深厚，而且红色文化资源密集．基于此，某中学积极响应，举行了一次红色文化知识竞赛．学校在竞赛后，随机抽查了 $100$ 人的成绩整理后得到如图所示的频率分布直方图．

(1)、求 $a$ 的值，以及样本的平均数；

(2)、若本次竞赛中获奖的人数占参赛总人数的 $20 %$ ，试估计获奖分数线(精确到 $0.1$ )；

(3)、若将频率视为概率，现在要从 $[80, 90)$ 和 $[90, 100]$ 两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的年龄在 $[90, 100]$ 这一组的概率．

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11、已知 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (m, m - 1)$ ， $\vec{c} = (\sin (2 x + \frac{π}{3}), \sin x \cos x)$ .

(1)、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，求m；

(2)、若 $f (x) = \vec{c} \cdot \vec{a}$ ， $x \in [0, \frac{π}{2}]$ ，求 $f (x)$ 的最大值和最小值．

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12、将一圆形纸片沿直径AB对折，使圆上两点 $C, C_{1}$ 重合，D，E为直径AB上两点，且 $∠ E C D = 30^{\circ}$ ，对折后沿直线DC，EC裁剪，展开得到四边形 $C E C_{1} D$ ，若该圆形直径为2， $A C = \frac{1}{2} A B$ ，则当四边形 $C E C_{1} D$ 的面积最小时，DE＝．

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13、在复平面内，常把复数 $z = a + b i (a, b \in R)$ 和向量 $\vec{O Z}$ 进行一一对应．现把复数 $\frac{1}{3} + \frac{2 \sqrt{2}}{3} i$ 对应的向量绕原点 $O$ 按顺时针方向旋转 $\frac{π}{4}$ ，所得的向量对应的复数虚部为．

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14、已知一个正三棱台的高为4，上、下底面边长分别为 $3 \sqrt{3}$ 、 $4 \sqrt{3}$ ，则这个三棱台的体积为．

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15、已知正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁ ，点P是侧面 $B B_{1} C_{1} C$ 内的动点 $($ 不含边界 $)$ ，下列结论正确的是（）

A、三棱锥 $A - P D D_{1}$ 的体积为定值 B、存在点P，使得 $A_{1} P ⊥$ 平面 $A B_{1} D_{1}$ C、若正方体棱长为2，P为侧面 $B B_{1} C_{1} C$ 的中心，则四棱锥 $P - A B C D$ 的外接球体积为 $\frac{8 \sqrt[]{2}}{3} π$ D、若正方体棱长为2，O为线段A₁D的中点，OP与平面 $B B_{1} C_{1} C$ 所成角为 $\frac{π}{3}$ ，则点P的轨迹长度为 $\frac{4 \sqrt[]{3}}{3} π$

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16、下列命题中正确的是（）

A、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $b \sin \frac{A + B}{2} = c \sin B$ ，则角C的大小为 $\frac{π}{3}$ B、有一组数据为3，2，4，5，3，6，则这组数据的60百分位数为5 C、已知△OAB的面积为1， $A B = 2$ ，动点P，Q在线段AB上滑动，且 $| P Q | = 1$ ，则 $\vec{O P} \cdot \vec{O Q}$ 的最小值为 $\frac{3}{4}$ D、若 $\sin (a + \frac{π}{3}) = \frac{1}{3}$ ，则 $\sin (2 a + \frac{π}{6}) = - \frac{7}{9}$

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17、设 $z$ 为复数，则下列说法正确的有（）

A、若 $|z| = 1$ ，则 $z = \pm 1$ 或 $z = \pm i$ B、若 $|z - (2 + i)| = 1$ ，则 $|z|$ 的最小值为 $\sqrt{5} - 1$ C、若 $z = \sqrt{3} - 2 i$ ，则 $|z| = 7$ D、若 $1 + i$ 是实系数方程 $x^{2} + a x + b = 0$ 的一个根，则 $a + b = 0$

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18、直角三角形ABC中，斜边AB长为 $2 \sqrt{3}$ ，绕直角边AC所在直线旋转一周形成一个几何体，若该几何体外接球的表面积为 $16 π$ ，则BC长为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $\sqrt{6}$ D、3

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19、已知事件A，B发生的概率分别为 $P (A) = 0.2$ ， $P (B) = 0.5$ ，则下列结论错误的是（）

A、若A与B互斥，则 $P (A + B) = 0.7$ B、若 $A \subseteq B$ ，则 $P (A B) = 0.5$ C、若 $P (\bar{A} B) = 0.4$ ，则A与B相互独立 D、若A与B相互独立，则 $P (A + B) = 0.6$

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20、已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，下列命题为假命题的是（）

A、 $m ⊥ α, m ⊥ β \Rightarrow α / / β$ B、 $m ⊥ n, n ⊥ α \Rightarrow m / / α$ C、 $m ⊥ α, m \subset β \Rightarrow α ⊥ β$ D、 $m ⊥ α, n ⊥ α \Rightarrow m / / n$

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