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相关试卷

1、已知向量 $\vec{a} = (- 2, 1)$ ， $\vec{b} = (- 1, t)$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $t$ 的值为 $\frac{1}{2}$ B、若 $t$ 的值为3，则 $|\vec{a} + \vec{b}| = 5$ C、若 $0 < t < 2$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为锐角 D、若 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$

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2、设椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，椭圆E上点P满足 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ，直线 $P F_{1}$ 和直线 $P F_{2}$ 分别和椭圆E交于异于点P的点A和点B，若 $\frac{|F_{1} A|}{|F_{2} B|} = \frac{2}{3}$ ，则椭圆E的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{17}}{5}$

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3、正方形ABCD的边长为1，取正方形各边的中点 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $C_{1}$ ， $D_{1}$ 作第二个正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，然后再取正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 各边中点 $A_{2}$ ， $B_{2}$ ， $C_{2}$ ， $D_{2}$ 作第三个正方形，依此方法一直继续下去，则前11个正方形的面积和为（）

A、 $2 - \frac{1}{2^{12}}$ B、 $2 (1 - \frac{1}{2^{10}})$ C、 $2 - \frac{1}{2^{11}}$ D、 $2 (1 - \frac{1}{2^{11}})$

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4、双曲线 $C : \frac{y^{2}}{4} - x^{2} = 1$ 的渐近线方程为 $y = m x$ ，则 $| m | =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、2

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5、已知集合 $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ， $B = \{x |- 1 \leq \log_{2} (2 x - 4) \leq 4\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{3, 4, 5, 6\}$ B、 $\{x |3 \leq x \leq 5\}$ C、 $\{x |\frac{9}{4} \leq x \leq 5\}$ D、 $\{2, 3, 4, 5, 6\}$

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6、已知海岛 $A$ 四周 $8$ 海里内有暗礁，有一货轮由西向东航行，在 $B$ 处望见岛 $A$ 在北偏东 $75 °$ ，航行 $20 \sqrt{2}$ 海里后，在 $C$ 处望见岛 $A$ 在东偏北 $60 °$ ．

(1)、请在图中作出岛 $A$ 的位置．（作图要求：标出题干中相关方向角）

(2)、若货轮不改变航向继续前进，有无触礁危险？说明理由．
（提示： $\sin 15 ° = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ ）

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7、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 $c = 2 a = 2, \sin A + b \sin B = 2 \sin C - b \sin A$ ，则 $\sin A =$ ．

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8、O是锐角三角形ABC内的一点，A，B，C是 $△ A B C$ 的三个内角，且点O满足 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = \vec{O B} \cdot \vec{O C} = \vec{O A} \cdot \vec{O C}$ ，则O是 $△ A B C$ 的心．

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9、 $\frac{\cos 75 ° - \sin 75 °}{\cos 75 ° + \sin 75 °} =$ .

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10、已知函数 $f (x) = | \ln (x - 1) |, f (a) > f (b)$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $a > 2$ ，则 $a > b$ B、若 $a > b$ ，则 $a > 2$ C、若 $a > 2$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} < 1$ D、若 $a > 2$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} > 1$

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11、已知复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ ， $\bar{z_{1}}$ 为 $z_{1}$ 的共轭复数，则下列结论中一定成立的是（）

A、 $z_{1} + \bar{z_{1}}$ 为实数 B、 $|\bar{z_{1}}| = |z_{1}|$ C、若 $|z_{1}| = |z_{2}|$ ，则 $z_{1} = \pm z_{2}$ D、 $|z_{2} \bar{z_{1}}| = |z_{2} z_{1}|$

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12、（多选）已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (m, 1)$ ，且向量 $\vec{b}$ 满足 $\vec{b} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = 3$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(0, 2)$ C、 $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ D、 $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

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13、若 $α \in (\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$ ，则 $sin α$ ， $cos α$ ， $tan α$ 的大小顺序是（）

A、 $cos α < tan α$ $< sin α$ B、 $tan α < cos α$ $< sin α$ C、 $cos α < sin α$ $< tan α$ D、 $sin α < cos α$ $< tan α$

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14、如图，用4种不同的颜色给矩形 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 涂色，要求相邻的矩形涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有（）

A、12种 B、24种 C、48种 D、72种

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15、已知直线 $l_{1} : x - 2 y + 3 = 0, l_{2} : 2 x + 3 y - 8 = 0$ .

(1)、求经过点 $A (1, 4)$ 且与直线 $l_{2}$ 垂直的直线方程；

(2)、求经过直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程.

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16、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是直角梯形， $A B ∥ C D$ ， $A B ⊥ B C$ ， $Q$ 是棱 $A D$ 上一点，且 $A D ⊥ P Q$ ， $A D ⊥ B Q$ ， $P Q = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $A B = 3$ ， $A D = C D = 2$ ，则当 $∠ P B Q$ 最大时，四棱锥 $P - A B C D$ 的体积为（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $\frac{5 \sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{5 \sqrt{2}}{6}$ D、 $\frac{5}{4}$

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17、已知曲线 $y = f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - a x^{2} + b x + 1$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线的斜率为3，且当 $x = 3$ 时，函数 $f (x)$ 取得极值.

(1)、求函数的极值；

(2)、若存在 $x \in [0, 3]$ ，使得不等式 $f (x) - m \leq 0$ 成立，求 $m$ 的取值范围.

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18、已知二次函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ ，满足 $f (0) = 2$ ， $f (x + 1) - f (x) = 2 x - 1$ .
（1）求函数 $f (x)$ 的解析式；
（2）求 $f (x)$ 在区间 $[- 1, 2]$ 上的值域；
（3）若函数 $f (x)$ 在区间 $[a, a + 1]$ 上单调，求实数 $a$ 的取值范围.

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19、已知集合A＝{x|2﹣a≤x≤2+a}（a＞0），B＝{x|x²+3x﹣4≤0}.
（1）若a＝3，求A∪B；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数a的取值范围.

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20、四棱锥 $P - A B C D$ 的底面是平行四边形，且 $\vec{P E} = 2 \vec{E C}$ ，若 $\vec{D E} = x \vec{A B} + y \vec{A D} + z \vec{A P},$ 则 $x y z =$ ．

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