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相关试卷

1、已知三棱锥 $O - A B C$ 中， $∠ A O B = ∠ B O C = ∠ A O C = \frac{π}{3}$ ， $O A = 2$ ， $O B = 3$ ， $O C = 4$ ，点 $D$ 为 $A C$ 的中点，点 $E$ 满足 $\vec{O E} = 2 \vec{E B}$ ，点 $F$ 满足 $\vec{E F} = \vec{F D}$ .

(1)、求 $D E$ 的长；

(2)、求 $\vec{O F} \cdot \vec{C B}$ 的值.

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2、已知 ${(x - \frac{2}{\sqrt[3]{x}})}^{n}$ 的展开式中，各项的二项式系数的和为 $64$ .

(1)、求展开式中所有项的系数之和；

(2)、求展开式中系数最大的有理项.

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3、从0，1，2，3，4，5，6这7个数字中选取3个数字，试问：

(1)、能组成多少个没有重复数字的三位数?

(2)、能组成多少个没有重复数字的三位偶数?

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4、空间四面体 $A B C D$ 中， $\vec{A M} = \vec{M C}$ ， $\vec{B N} = 2 \vec{N D}$ ，且 $A B = A D = B C = C D = \sqrt{10}$ ， $A C = B D = 3 \sqrt{2}$ ，则直线 $M N$ 与直线 $B C$ 所成角的余弦值为

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5、某工厂3个车间生产同一件计算机配件，3个车间产量分别占总产量的25%，30%，45%，这3个车间的次品率依次为6%，5%，5%.任取一个配件是次品的概率为.

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6、计算 $A_{5}^{2} + C_{10}^{2} =$ .（用数字作答）

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7、如图，“杨辉三角”是二项式系数在压角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，则下列关于“杨辉三角”的性质中正确的是（）

A、在“杨辉三角”中，当 $n = 9$ 时，从第2行起，每一行的第3列的数字之和为120 B、在“杨辉三角”第 $n$ 行中，从左到右只有第6个数是该行的最大值，则 $n$ 为12 C、记“杨辉三角”第 $n$ 行的第 $i$ 个数为 $a_{i}$ ，则 $\sum_{i = 1}^{n + 1} 3^{i - 1} \cdot a_{i} = 3^{n}$ D、在“杨辉三角”中，第 $n$ 行所有数字的平方和恰好是第 $2 n$ 行的中间一项的数字

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8、在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = 2$ ， $A B = A D = 4$ ， E、F分别是 $A B_{1}$ 、 $B C_{1}$ 的中点，则下列结论中成立的是（）

A、 $E F / /$ 平面 $A_{1} C_{1} D$ B、 $E F ⊥$ 平面 $B B_{1} D_{1} D$ C、点 $A$ 到平面 $A_{1} B D$ 的距离为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、直线 $E F$ 到平面 $A_{1} C_{1} D$ 的距离为 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$

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9、下列说法正确的有（）

A、从 $6$ 件不同的礼物中选出 $3$ 件分别送给 $3$ 名同学，共有 $120$ 种不同方法 B、平面内有 $6$ 个点，以其中 $2$ 个点为端点的线段共有 $15$ 条 C、从 $2$ 、 $5$ 、 $10$ 、 $13$ 、 $15$ 五个数中任取两个相减可以得到 $20$ 个不相等的差 D、 $4$ 个不同的小球放入编号为 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $4$ 的 $4$ 个盒子中，恰有一个空盒的放法有 $144$ 种

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10、已知3名医生和3名护士排成一排拍合照，若医生甲不站两端，3名护士中至多有2名相邻，则不同的排法共有（）种.

A、72 B、144 C、288 D、408

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11、各种不同的进制在生活中随处可见，计算机使用的是二进制，数学运算一般使用的是十进制，任何进制数均可转换为十进制数，如六进制数 ${(2501)}_{6}$ 转换为十进制数的算法为 $2 \times 6^{3} + 5 \times 6^{2} + 0 \times 6^{1} + 1 \times 6^{0} = 613$ .若将六进制数 $\underset{7 个 5}{\underset{⏟}{55 \cdot \cdot \cdot 5}}$ 转换为十进制数，则转换后的数被 $7$ 除所得的余数是（）

A、 $0$ B、 $1$ C、 $2$ D、 $5$

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12、已知四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为平行四边形，点 $E$ 为 $P A$ 的中点，点 $F$ 满足 $\vec{P F} = 2 \vec{F C}$ ，点 $Q$ 满足 $\vec{P Q} = λ \vec{Q D}$ ，若 $B$ 、 $E$ 、 $F$ 、 $Q$ 四点共面，则 $λ =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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13、已知随机变量X的分布列为
$X$
0
1
$P$
$p$
$1 - p$
若 $D (X) = \frac{p}{4} (0 < p < 1)$ ，则 $p$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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14、若随机事件A，B满足 $P (A) = \frac{2}{3}$ ， $P (B) = \frac{1}{2}$ ， $P (B |A) = \frac{1}{4}$ ，则 $P (A |B) =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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15、从5名大学毕业生中挑选3个人，分别担任三个班的实习班主任，甲、乙至少有1人入选，则不同的安排方法有（）种

A、9 B、36 C、54 D、72

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16、已知向量 $\vec{a} = (x, 4, - 2)$ ， $\vec{b} = (- 2, y, 1)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则（）

A、 $x y = - 8$ B、 $x y = - 2$ C、 $x y = 2$ D、 $x y = 8$

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17、某校为促进学生对数学文化的认识，举办了相关竞赛，从所有答卷中随机抽取 $100$ 份作为样本，发现得分均在区间 $[30, 90]$ 内 $.$ 现将 $100$ 个样本数据按 $[30, 40)$ ， $[40, 50)$ ， $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80, 90]$ 分成 $6$ 组，得到如下频率分布直方图．

(1)、求出频率分布直方图中 $x$ 的值；

(2)、请估计样本数据的众数和平均数；

(3)、学校决定奖励成绩排名前20%的学生，学生甲的成绩是 $77$ 分，请判断学生甲能否得到奖励，并说明理由．

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18、已知函数 $f (x) = (x - 2) e^{x} - \frac{a}{3} x^{3} + b x^{2}$ ，其中 $a \geq 0, b \geq 0$ ．

(1)、当 $a = 0, b = 0$ 时，
①若 $x \leq 3$ ，求函数 $f (x)$ 的最大值；
②若直线 $l$ 是曲线 $f (x)$ 的切线，且 $l$ 经过点 $(t, 0)$ ，证明： $| t | \geq 2$ ；

(2)、当 $b > 0$ 时，若 $x = 1$ 是函数 $f (x)$ 的极小值点，求 $b$ 的取值范围．

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19、若抛物线 $y^{2} = m x$ 的焦点与双曲线 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ 的右焦点重合，则实数 $m$ 的值为．

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20、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{n + 1} = a_{n}^{2} - 2 a_{n} (n = 1, 2, \dots)$ ，则（）

A、当 $a_{1} = 3$ 时，对于任意的正整数 $n, a_{n + 1} > a_{n}$ B、当 $a_{1} = 1$ 时，存在正整数 $N$ ，当 $n > N$ 时， $a_{n + 1} > a_{n}$ C、当 $a_{1} \in (2, 3)$ 时，对于任意的正整数 $n, a_{n} \leq 3$ D、当 $a_{1} \in (3, 4)$ 时，存在正整数 $N$ ，当 $n > N$ 时， $a_{n} < 3$

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$X$	0	1
$P$	$p$	$1 - p$