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相关试卷

1、过原点的直线 $l$ 与曲线 $y = e^{x}, y = ln (x + a)$ 都相切，则实数 $a =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{e}$ D、 $\frac{2}{e}$

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2、已知奇函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，若 $f (x) = f (2 - x) + 2 x - 2$ ，且 $f (3) = 2$ ，则（）

A、 $f (- 5) = - 6$ B、 $f (x + 4) = f (x)$ C、 $f^{'} (101) = 101$ D、 $\sum_{i = 1}^{100} f (i) = 5050$

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3、已知 $sin 2 α = - \frac{3}{4}, α \in (0, π)$ ，则 $sin α - cos α =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{7}}{2}$

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4、某同学记录了当地2月最后8天每天的最低气温（单位： $° C$ ），分别为 $6, 8, 6, 10, 6, 5, 9, 11$ ，则该组数据的第60百分位数为（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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5、直线 $x \sin α + y + 2 = 0$ 的倾斜角的取值范围是（　　）

A、 $[0, π)$ B、 $[0 ， \frac{π}{4}] \cup [\frac{3 π}{4}, π)$ C、 $[0, \frac{π}{4}]$ D、 $[0 ， \frac{π}{4}] \cup (\frac{π}{2} ， \frac{3 π}{4}]$

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6、若定义在R上的函数 $f (x)$ 对任意实数x，y恒有 $f (x + y) = f (x) + f (y)$ ，当 $x < 0$ 时， $f (x) > 0$ ，且 $f (- 1) = 2$ ．

(1)、求证： $f (x)$ 为奇函数；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[- 3, 3]$ 上的最小值；

(3)、若 $m \in [0, 1]$ 不等式： $f (3 m^{2}) > f (a m + 2) - 4$ 恒成立，求a的取值范围；

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7、命题 $P : \exists x_{0} \in R, a x^{2} - 3 a x + 2 < 0$ 是假命题，则 $a$ 的范围是（）

A、 $0 \leq a \leq \frac{8}{9}$ B、 $a < 0$ C、 $0 < a \leq \frac{8}{9}$ D、 $a > \frac{8}{9}$

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8、已知函数 $f (x) = sin 2 x + a cos 2 x$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{12}$ 对称，则当 $x \in [0, 2 π]$ 时，曲线 $y = f (x)$ 与 $y = cos x$ 的交点个数为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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9、直线 $x - y - 3 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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10、已知函数 $y = \sqrt{x^{2} - 4 x}$ 的定义域为 $A$ ，函数 $y = x^{2} + 2 x + m (x \in [- 2, 2))$ 的值域为 $B$ .

(1)、若 $m = - 3$ ，求集合 $A, B$ ；

(2)、若“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的必要不充分条件，求实数 $m$ 的取值范围.

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11、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ ，焦距为2.动点 $M (x_{0}, y_{0})$ 在椭圆 $C$ 上，当线段 $M F_{2}$ 的中垂线经过 $F_{1}$ 时，有 $cos ∠ M F_{2} F_{1} = \frac{\sqrt{2} - 1}{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、如图，过原点 $O$ 作 $⊙ M : {(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2} = \frac{2}{3}$ 的两条切线，分别与椭圆 $C$ 交于点 $P$ 和点 $Q$ ，直线 $O P ､ O Q$ 的斜率分别记为 $k_{1} ､ k_{2}$ .当点 $M$ 在椭圆上运动时，
①证明： $k_{1} \cdot k_{2}$ 恒为定值，并求出这个值；
②求四边形 $O P M Q$ 面积的最大值.

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12、函数 $f (x) = x^{2} - 2 x + 3,$ $x \in [0, 3)$ 的值域为．

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13、（1）已知 $x < \frac{5}{4}$ ，求 $4 x - 2 + \frac{1}{4 x - 5}$ 的最大值；
（2）若正数x，y满足 $x^{2} + x y - 2 = 0$ ，求 $3 x + y$ 的最小值.

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14、古希腊数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数 $k (k > 0$ 且 $k \neq 1)$ 的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中， $N (1, 0), M (4, 0)$ ，动点 $Q$ 满足 $\frac{|Q M|}{|Q N|} = 2$ ，设动点 $Q$ 的轨迹为曲线 $C$ ．

(1)、求曲线 $C$ 的轨迹方程；

(2)、若直线 $x - y + 1 = 0$ 与曲线 $C$ 交于 $A, B$ 两点，求 $|A B|$ ；

(3)、若曲线 $C$ 与 $x$ 轴的交点为 $E, F$ ，直线 $l : x = m y - 1$ 与曲线 $C$ 交于 $G, H$ 两点，直线 $E G$ 与直线 $F H$ 交于点 $D$ ，证明：点 $D$ 在定直线上．

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15、已知动点 $P$ 在抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上， $Q (- 2, 3)$ ，点 $P$ 到 $C$ 的准线的距离为 $d$ ，且 $d + |P Q|$ 的最小值为5.

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、若过点 $(1, 0)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，且直线 $Q A$ 的斜率与直线 $Q B$ 的斜率之积为 $- \frac{1}{2}$ ，求 $l$ 的斜率.

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16、已知点 $A (- 1, 1), B (0, - 1), C (3, 0)$ ，且四边形 $A B C D$ 是平行四边形．

(1)、求点 $D$ 的坐标；

(2)、求平行四边形 $A B C D$ 的面积．

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17、若过圆 $C : x^{2} + {(y - 2)}^{2} = r^{2} (r > 0)$ 外一点 $P (2, - 2)$ 作圆 $C$ 的两条切线，切点分别为 $A, B$ ，且 $|A B| = \frac{8 \sqrt{5}}{5}$ ，则 $r =$ ．

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18、直线 $l : x {sin}^{2} θ - y + 2 = 0$ 的倾斜角 $α$ 的取值范围是．

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19、椭圆 $x^{2} + \frac{y^{2}}{10} = 1$ 的短轴长为，该椭圆上一点到两个焦点的距离之和为.

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20、已知直线 $l : x + y - m - 2 = 0$ 和曲线 $C : x^{2} + y^{2} - 4 x + 3 = 0 (y \geq 0)$ 相交于 $A, B$ 两点，下列结论正确的是（）

A、曲线 $C$ 的长度为 $2 π$ B、 $m \in (- \sqrt{2}, \sqrt{2})$ C、 $|A B| \in (0, \sqrt{2}]$ D、若 $D (4, 2)$ ，则 $|D A| = |D B|$

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