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相关试卷

1、已知单位向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ，若向量 $\vec{c} = \vec{a} + \sqrt{3} \vec{b}$ ，则 $\cos ⟨\vec{a}, \vec{c}⟩ =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{1}{4}$

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2、设复数z满足 ${(1 + i)}^{2} z = 5 - 2 i$ ，则z在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3、设集合 $A = \{x \in N^{*} |2^{x} < 4\}, B = \{x \in N |- 1 < x < 2\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\{x |- 1 < x < 2\}$ B、 $\{x |x < 2\}$ C、 $\{0, 1\}$ D、 $\{1\}$

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4、已知有限集 $A = \{a_{1}, a_{2}, \dots a_{n}\} (n \geq 2, n \in N)$ ，若 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} = a_{1} a_{2} \dots a_{n}$ ，则称 $A$ 为“完全集”.

(1)、判断集合 $\{- 1, - \sqrt{2}, \sqrt{2} - 1, 2 \sqrt{2} + 2\}$ 是否为“完全集”，并说明理由；

(2)、若集合 $\{a, b\}$ 为“完全集”，且 $a$ ， $b$ 均大于 $0$ ，证明： $a$ ， $b$ 中至少有一个大于 $2$ ；

(3)、若 $A$ 为“完全集”，且 $A \subseteq N^{*}$ ，求 $A$ .

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5、已知 $\vec{a} = (3, 0, 4)$ ， $\vec{b} = (- 1, 2, 1)$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量是.

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6、在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $P A = A B = 2$ ， $M$ 为空间中一动点， $G$ 为 $P C$ 的中点， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ .若 $\vec{M A} \cdot \vec{M G} = 0$ ，则 $M$ 的轨迹围成封闭图形的体积为.

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7、已知函数 $f (x) = (x - 2) |x + a| (a \in R)$ ，

(1)、当 $a = 1$ 时，
①求函数 $f (x)$ 单调递增区间；
②求函数 $f (x)$ 在区间 $[- 4, 1]$ 的最大值；

(2)、当 $x \in [- 3, 3]$ 时，记函数 $f (x)$ 的最大值为 $g (a)$ ，求 $g (a)$ 的表达式.

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8、 $\sin \frac{π}{6} + {(\frac{25}{4})}^{0.5} + \log_{3} 6 - 2 \log_{3} \sqrt{2} =$ ．

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9、下列函数中，既是偶函数又在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递减的是（）

A、 $y = ln x$ B、 $y = x^{2}$ C、 $y = {(\frac{1}{2})}^{|x|}$ D、 $y = cos x$

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10、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 1, M, N$ 分别是棱 $A B, C C_{1}$ 的中点，则点 $A_{1}$ 到直线 $M N$ 的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ B、1 C、 $\frac{\sqrt{174}}{12}$ D、 $\frac{2}{3}$

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11、已知甲罐中有四个相同的小球，标号为 $1, 2, 3, 4$ ，乙罐中有三个相同的小球，标号为 $1, 2, 3$ ，从甲罐，乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件 $A =$ “抽取的两个小球标号之和大于6”，事件 $B =$ “抽取的两个小球标号之积小于6”，则下列说法错误的是（）

A、事件 $A$ 发生的概率为 $\frac{1}{12}$ B、事件 $A, B$ 相互独立 C、事件 $A, B$ 是互斥事件 D、事件 $A \cup B$ 发生的概率为 $\frac{2}{3}$

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12、已知点 $A (2, 1), B (- 1, 4)$ ，则直线 $A B$ 的倾斜角为（）

A、 $30^{\circ}$ B、 $45^{\circ}$ C、 $60^{\circ}$ D、 $135^{\circ}$

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13、中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式 $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ 求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足 $a + b = 10$ ， $c = 6$ ，则此三角形面积的最大值为．

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14、已知集合 $A = \{x ∣ 0 \leq x \leq a\}$ ，集合 $B = \{x ∣ m^{2} + 3 \leq x \leq m^{2} + 4\}$ ，如果命题“ $\exists m \in R$ ， $A \cap B \neq \emptyset$ ”为假命题，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 ${a ∣ a < 3}$ B、 ${a ∣ a < 4}$ C、 ${a ∣ 1 < a < 5}$ D、 ${a ∣ 0 < a < 4}$

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15、在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为 $A_{1} D_{1}$ 的中点，则点 $C_{1}$ 到直线 $C E$ 的距离为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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16、已知函数 $f (x) = \sqrt{x + 3} + \frac{1}{x + 2}$ ，

(1)、求函数的定义域；

(2)、求 $f (- 3), f (\frac{2}{3})$ 的值；

(3)、当 $a > 0$ 时，求 $f (a)$ ， $f (a - 1)$ 的值．

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17、 $2^{\log_{2} 3} + {(\frac{1}{2})}^{- 2} =$ ．

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18、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + b = 1$ ，则（）．

A、ab的最大值为 $\frac{1}{4}$ B、 $a^{2} + b^{2}$ 的最大值为 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b}$ 的最小值为9 D、 $2^{a} + 2^{b}$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}$

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19、声音的强弱可以用声波的能流密度来计算，叫做声强.通常人耳能听到声音的最小声强为 $I_{0} = 10^{- 12}$ （瓦/平方米）.在某特殊介质的实验中对于一个声音的声强 $I$ ，用声强 $I$ 与 $I_{0}$ 比值的常用对数来表示声强 $I$ 的“声强级数n”，即 $n = \lg I - \lg I_{0}$ ，则“声强级数8”的声强是“声强级数5”的声强的（）

A、20倍 B、 $\lg 200$ 倍 C、100倍 D、1000倍

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20、已知正数a，b满足 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} = 1$ ，则 $a + 2 b$ 的最小值为（）

A、9 B、6 C、4 D、3

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