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相关试卷

1、已知集合 $A = \{a, a^{2}\}$ ， $B = \{1, 4\}$ ，若 $1 \in A$ ，则 $A \cup B$ 中所有元素之和为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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2、如图，点 $P$ 是棱长为3的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的表面上一个动点， $F$ 是线段 $A_{1} B_{1}$ 的中点，则（）

A、若点 $P$ 满足 $A P ⊥ B_{1} C$ ，则动点 $P$ 的轨迹长度为 $6 \sqrt{2}$ B、当直线 $A P$ 与 $A B$ 所成的角为 $45^{\circ}$ 时，点 $P$ 的轨迹长度为 $\frac{3}{2} π + 6 \sqrt{2}$ C、三棱锥 $A - P B_{1} D_{1}$ 体积的最大值为 $\frac{8}{3}$ D、当 $P$ 在底面 $A B C D$ 上运动，且满足 $P F$ $∥$ 平面 $B_{1} C D_{1}$ 时，线段 $P F$ 长度最大值为 $3 \sqrt{2}$

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3、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，我们可以采用公式 $\{\begin{array}{l} x^{'} = a x + b y + c, \\ y^{'} = m x + n y + p \end{array}$ （其中 $a, b, c, m, n, p$ 为常数），将点 $P (x, y)$ 变换成点 $P^{'} (x^{'}, y^{'})$ ，我们称该变换为线性变换，上式为坐标变换公式．常见的线性变换有平移变换和旋转变换．

(1)、将点 $P (x, y)$ 向左平移 $1$ 个单位，再向上平移 $2$ 个单位，得到点 $P^{'} (x^{'}, y^{'})$ ，求该变换的坐标变换公式，并求将椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 向左平移 $1$ 个单位，再向上平移 $2$ 个单位后，所得新椭圆的方程；

(2)、将点 $P (x, y)$ 绕原点逆时针旋转 $\frac{π}{4}$ 后，得到点 $P^{'} (x^{'}, y^{'})$ ，求上述变换的坐标变换公式，并求将椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 绕原点逆时针旋转 $\frac{π}{4}$ 后，所得新椭圆的方程；

(3)、若点 $P (x, y)$ 满足 $x^{2} + x y + y^{2} + 2 x + y - 2 = 0$ ，证明：点 $P (x, y)$ 的轨迹是椭圆．

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4、在平面直角坐标系中，已知O是坐标原点，点 $A (- 2, 0)$ ， $B (2, 0)$ ，直线 $A M$ ， $B M$ 相交于点 $M$ ，且它们的斜率之积是 $- \frac{1}{4}$ ．记点 $M$ 的轨迹是曲线 $C$ ，点 $D (x_{0}, y_{0}) (y_{0} > 0)$ 是曲线 $C$ 上的一点．

(1)、求曲线 $C$ 的方程；

(2)、若 $x_{0} = 1$ ，直线l过点 $D$ 与曲线 $C$ 的另一个交点为 $E$ ，求 $△ O D E$ 面积的最大值；

(3)、过点 $F (\sqrt{3}, 0)$ 作直线交曲线 $C$ 于 $P$ ， $Q$ 两点，且 $O D ⊥ P Q$ ，证明： $\frac{1}{| P Q |} + \frac{1}{| O D |^{2}}$ 为定值．

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5、如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAD是正三角形，四边形ABCD为等腰梯形，且有 $A D = 2 B C = 2 A B = 2 C D = P B = P C$ ， E，F分别是AD，BC的中点，动点Q在PF上．

(1)、证明：平面 $P E F ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、当 $E Q ⊥ P F$ 时，求平面QAB与平面QCD所成角的余弦值．

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6、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，记 $△ A B C$ 的面积为S，已知 $A + B = 2 C$ ．

(1)、若 $c = 2$ ，求 $△ A B C$ 外接圆的半径；

(2)、求 $\frac{S}{(a + b + c) (a + b - c)}$ 的值．

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7、已知圆C： ${(x - 4)}^{2} + y^{2} = 25$ ，点P（1，4），且直线l经过点P．

(1)、若l与C相切，求l的方程；

(2)、若l的倾斜角为 $\frac{3 π}{4}$ ，求l被圆C截得的弦长．

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8、设O是坐标原点， $F_{1}$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点，椭圆上的点P关于O的对称点是Q，若 $∠ P F_{1} Q = 120 °$ ， $| P Q | = \sqrt{3} a$ ，则该椭圆的离心率是．

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9、已知圆锥的侧面展开图是圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ ，弧长为 $2 π$ 的扇形，则该圆锥的体积是．

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10、点A（2，1）到直线l： $x - 2 y - 3 = 0$ 的距离是．

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11、棱长为1的正四面体ABCD的内切球球心为O，点P是该内切球球面上的动点，则以下说法正确的是（）

A、记直线AO与直线AB的夹角是α，则 $\cos α = \frac{\sqrt{6}}{3}$ B、记直线AO与平面ABC的夹角是β，则 $\sin β = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、记 $| \vec{B P} - x \vec{B C} - y \vec{B D} | (x, y \in R)$ 的最小值为n，则 $n \in [0, \frac{\sqrt{6}}{6}]$ D、记 $\vec{A P}$ 在 $\vec{B C}$ 上的投影向量为 $m \frac{\vec{B C}}{| \vec{B C} |}$ ，则 $m \in [- \frac{\sqrt{6}}{12}, \frac{\sqrt{6}}{12}]$

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12、抛掷一颗质地均匀的骰子，记随机事件 $A_{i} =$ “点数为i”，其中 $i = 1, 2, 3, 4$ ，则以下说法正确的是（）

A、若随机事件 $B_{1} =$ “点数不大于3”，则 $A_{1}$ 与 $B_{1}$ 互斥 B、若随机事件 $B_{2} =$ “点数为偶数”，则 $A_{2} \subseteq B_{2}$ C、若随机事件 $B_{3} =$ “点数不大于2”，则 $A_{3}$ 与 $B_{3}$ 对立 D、若随机事件 $B_{4} =$ “点数为奇数”，则 $A_{3} \cup A_{4}$ 与 $B_{4}$ 相互独立

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13、已知复数 $z = 3 - 4 i$ ，以下说法正确的是（）

A、z的实部是3 B、 $| z | = 5$ C、 $\bar{z} = 3 + 4 i$ D、 $z$ 在复平面内对应的点在第一象限

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14、在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，若直线 $A C$ 与 $B D$ 的交点为 $M$ ．设 $\vec{A_{1} B_{1}} = \vec{a}$ ， $\vec{A_{1} D_{1}} = \vec{b}$ ， $\vec{A_{1} A} = \vec{c}$ ，则下列向量中与 $\vec{B_{1} M}$ 共线的向量是（）

A、 $- 2 \vec{a} + 2 \vec{b} - \vec{c}$ B、 $\vec{a} + \vec{b} - 2 \vec{c}$ C、 $2 \vec{a} - 2 \vec{b} - \vec{c}$ D、 $\vec{a} - \vec{b} - 2 \vec{c}$

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15、已知 $x \geq 3$ ，则函数 $f (x) = x + \frac{1}{x - 1}$ 的最小值是（）

A、 $\frac{9}{2}$ B、 $\frac{7}{2}$ C、3 D、2

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16、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，以下说法正确的是（）

A、若E为 $D D_{1}$ 的中点，则 $B D_{1} ∥$ 平面 $A E C$ B、若E为 $D D_{1}$ 的中点，则 $B D_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} E C_{1}$ C、若E为 $C_{1} D_{1}$ 的中点，则 $A E ⊥ B D_{1}$ D、若E为 $C_{1} D_{1}$ 的中点，则 $C E ∥ B D_{1}$

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17、已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 4$ 和圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} - 8 x - 6 y + 16 = 0$ ，则 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的位置关系是（）

A、外切 B、内切 C、相交 D、外离

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18、已知点 $P (a, 1)$ ， $Q (- 2, - 3)$ ，若 $| P Q | = 5$ ，则 $a =$ （）

A、1 B、-5 C、1或-5 D、-1或5

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19、如果椭圆的方程是 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ ，那么它的焦点坐标是（）

A、 $(\pm 2, 0)$ B、 $(0, \pm 2)$ C、 $(\pm \sqrt{2}, 0)$ D、 $(0, \pm \sqrt{2})$

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20、若集合 $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ ， $B = \{2, 4, 6, 8\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{3, 4\}$ B、 $\{2, 4, 6\}$ C、 $\{1, 3, 5\}$ D、 $\{2, 4\}$

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