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相关试卷

1、已知向量 $|\vec{a}| = 2 \sqrt{2}, \vec{b} = (1, - 1), |\vec{a} + \vec{b}| = 2 \sqrt{3}$ ，则向量 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ B、 $(- 2, 2)$ C、 $(2, - 2)$ D、 $(\frac{1}{2}, - \frac{1}{2})$

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2、某电视台旗下的电商平台一“家乡好物商城”依托广播、电视与互联网平台优势，主要销售本地制造的优质产品及该地对口支援、帮扶地区的农特产品，打通新疆、广西、云南、贵州等地区农特产品的产销对接渠道.近一个月来，“贵州黄牛肉”、“广西小砂糖橘”、“云南野苹果“等农特产品在当地热销，通过对过去的一个月（以30天计）的“广西小砂糖橘”的销售情况的调查发现：每千克的销售价格 $P (x)$ （单位：元/千克）关于第 $x$ 天 $(1 \leq x \leq 30, x \in N^{*})$ 的函数关系近似满足 $P (x) = 10 + \frac{2}{x}$ .日销售量 $Q (x)$ （单位：千克）关于第 $x$ 天的部分数据如下表所示：
$x$
9
14
18
22
29
$Q (x)$
54
59
63
59
52

(1)、给出以下四种函数模型：① $Q (x) = a x + b$ ；② $Q (x) = a |x - m| + b$ ；③ $Q (x) = a^{x} + b$ ；④ $Q (x) = b {log}_{a} x$ .请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型（简要说明理由）来描述日销售量 $Q (x)$ 关于第 $x$ 天的变化关系，并求出该函数的解析式：

(2)、设该工艺品的日销售收入为函数 $y = f (x)$ （单位：元）：求函数 $f (x)$ 的最小值.

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3、已知 $a$ 是第二象限角， $\sin a = \frac{5}{13}, 则 cos a =$

A、 $- \frac{12}{13}$ B、 $- \frac{5}{13}$ C、 $\frac{5}{13}$ D、 $\frac{12}{13}$

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4、已知函数 $f (x) = x + 1$ ， $g (x) = 3^{x} + m$ ，若对任意的 $x_{1} \in [0, 1]$ ，存在 $x_{0} \in [0, 1]$ ，使得 $f (x_{1}) = g (x_{0})$ ，则整数m的取值集合真子集的个数为

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5、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A C = 4 ， B C = 2 ， A C ⊥ B C ， P A = P B = P C ， M ， E ， F$ 分别是 $A B ， P A ， P B$ 的中点.

(1)、求证： $P M ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若四面体 $B C E F$ 的体积为 $1$ ，求 $P M$ ；

(3)、在（2）的条件下，若 $\vec{C D} = λ \vec{C P} (0 < λ < 1)$ ，求直线 $A D$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值的最大值.

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6、若指数函数 $f (x) = {(2 a - 1)}^{x}$ 在 $R$ 上是严格增函数，则实数 $a$ 的取值范围是．

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7、在正方体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 中， $E$ 为棱 $D C$ 上的动点， $F$ 为线段 $B^{'} E$ 的中点.给出下列四个
① $B^{'} E ⊥ A D^{'}$ ；
②直线 $D^{'} F$ 与平面 $A B B^{'} A^{'}$ 所成角不变；
③点 $F$ 到直线 $A B$ 的距离不变；
④点 $F$ 到 $A, D, D^{'}, A^{'}$ 四点的距离相等.
其中，所有正确结论的序号为（）

A、②③ B、③④ C、①③④ D、①②④

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8、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $A B C$ 是以 $A C$ 为斜边的等腰直角三角形，侧面 $A C C_{1} A_{1}$ 为菱形，点 $A_{1}$ 在平面 $A B C$ 上的投影为 $A C$ 的中点D，且 $A B = 2$ .

(1)、求点 $C_{1}$ 到直线 $A B$ 的距离；

(2)、求点C到侧面 $A B B_{1} A_{1}$ 的距离；

(3)、在线段 $A_{1} B_{1}$ 上是否存在点E，使得直线 $D E$ 与侧面 $A B B_{1} A_{1}$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{7}$ ?若存在，请求出 $A_{1} E$ 的长；若不存在，请说明理由.

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9、求下列各圆的方程.

(1)、圆心为点 $C (8, - 3)$ ，且过点 $A (5, 1)$ ；

(2)、过 $A (- 1, 5)$ ， $B (5, 5)$ ， $C (6, - 2)$ 三点．

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10、在平面直角坐标系中，点 $P$ 的坐标为 $(0, \frac{5}{2})$ ，圆 $C : {(x - 5)}^{2} + {(y - \frac{5}{2})}^{2} = 1$ ，点 $T (t, 0)$ 为 $x$ 轴上一动点.现由点 $P$ 向点 $T$ 发射一道粗细不计的光线，光线经 $x$ 轴反射后与圆 $C$ 有交点，则 $t$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{15}{8}, \frac{10}{3}]$ B、 $[\frac{7}{4}, \frac{10}{3}]$ C、 $[\frac{7}{4}, \frac{27}{8}]$ D、 $[\frac{15}{8}, \frac{27}{8}]$

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11、“ $a = - 1$ ”是“直线 $a x + 3 y + 3 = 0$ 和直线 $x + (a - 2) y + 1 = 0$ 平行”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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12、如图， $△ O A B$ 是以 $O A$ 为斜边的等腰直角三角形，且 $O A = 4$ . 动直线 $x = t$ 与 $△ O A B$ 的边共有两个公共点，即 $0 < t < 4$ ，在 $△ O A B$ 内且位于直线 $x = t$ 右侧的区域面积为 $f (t)$ .

(1)、求 $f (t)$ 的解析式；

(2)、设 $g (x) = f (x + 2) - 2$ ，证明： $g (x)$ 是奇函数.

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13、设A是由若干个正整数组成的集合，且存在3个不同的元素 $x, y, z \in A$ ，使得 $x - y = y - z$ ，则称A为“等差集”.

(1)、若集合 $A = \{2, 3, 4, 6\}, B \subseteq A$ ，且B是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的B；

(2)、若集合 $A = \{5 - m^{2}, 1 + m, 2 m^{2} - 3\}$ 是“等差集”，求m的值；

(3)、已知正整数 $n \geq 3$ ，证明： $\{x, x^{2}, x^{3}, \dots, x^{n}\}$ 不是“等差集”.

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14、已知奇函数 $f (x) = \frac{x^{2} + 1}{b x + a} + x$ 经过 $(- 1, - 3)$ 点.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断函数 $f (x)$ 在 $(- \infty, - 1)$ 上的单调性并用定义进行证明；

(3)、若存在 $x_{1}, x_{2} \in [1, 3]$ ，使得不等式 $f (x_{1}) \leq x_{2}^{2} - 2 m x_{2} + m^{2} - 6$ 成立，求实数m的取值范围.

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15、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2} - 2 a x - a, x < 0 \\ 2^{x} - x + a, x \geq 0 \end{array}$ ， $a \in R$ .

(1)、若 $f (x)$ 过点 $P (1, 4)$ ，求 $f (- 1)$ ；

(2)、若 $g (x) = f (x) + x$ ，当 $x \in R$ 时，函数 $g (x)$ 单调递增，求a的取值范围；

(3)、当 $x \in [- 2, 2]$ 时，若函数 $f (x)$ 图象上除原点外至少存在一对点关于原点对称，求a的范围.

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16、（1）已知 $f (x)$ 是一次函数，且满足 $2 f (x + 2) - f (x) = x + 7$ ，求 $f (x)$ ；
（2）已知 $f (x) + 2 f (- x) = x^{2} + 3 x + 1$ ，求 $f (4)$ ；
（3）已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} x^{2}, x \leq 1 \\ 2 x - 1, x > 1 \end{matrix}, g (x) = \{\begin{matrix} \sqrt{x}, x \geq 0 \\ \frac{1}{x}, x < 0 \end{matrix}$ ，求 $f (g (x))$ ；

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17、已知集合 $U = [0, + \infty), A = \{x |- 2 < x < 3\}, B = \{x |a - 1 < x < 2 a\}$ .

(1)、若 $a = 3$ ，求 $A \cup B$ ， $∁_{U} B$ ；

(2)、若 $B \subseteq A$ ，求 $a$ 的取值范围.

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18、数学学习过程中，要时刻记得这些注意点：遇到集合注意空集，遇到函数注意定义域，遇到含参方程要找定点，遇到向量要注意零向量，函数 $f (x) = a^{x - 2023} + 1$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象必过定点.

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19、2024年10月21日，第52个梅森素数 $M_{52} = 2^{136279841} - 1$ 被发现，这也是迄今为止发现的最大素数.集合 $A$ 以这52个梅森素数为元素，其非空真子集有个.

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20、已知函数 $f (x) = \frac{x + 1}{x + 2} + \frac{x + 3}{x + 4} + \frac{x + 5}{x + 6} + \frac{x + 7}{x + 8}$ ， $f (- 5 + \sqrt{2024}) + f (- 5 - \sqrt{2024}) > m^{2} - 7 m$ 恒成立，则 $m$ 的取值可以为（）

A、 $- 1$ B、2 C、5 D、8

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$x$	9	14	18	22	29
$Q (x)$	54	59	63	59	52