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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \ln (2 - x) + \ln (2 + x)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的定义域；

(2)、判断 $f (x)$ 奇偶性，并加以证明；

(3)、若 $f (2 m + 1) < \ln 3$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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2、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} sin (2 x - \frac{π}{4})$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ ，求 $f (x)$ 的值域；

(3)、若当 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 时，函数 $f (x)$ 的图象与直线 $y = m (m \in R)$ 有2个交点，求实数 $m$ 的取值.

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3、（1）已知 $2^{a} = 3^{b} = m, \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 2$ ，求 $m$ 的值；
（2）已知 $tan α = 2$ ，计算 $\frac{{sin}^{2} α}{1 + {cos}^{2} α}$ 的值；
（3）计算 ${log}_{2} 3^{2024} - {log}_{2} {(\frac{3}{2})}^{2024}$ 的值.

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4、已知非空集合 $A = \{x ∣ 1 + a \leq x \leq 1 - 2 a\}, B = \{x ∣ x^{2} + 3 x + 2 \geq 0\}$ .

(1)、若 $a = - 1$ ，求 $(∁_{R} A) \cap B$ ；

(2)、若“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的充分不必要条件，求实数 $a$ 的取值范围.

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5、已知函数 $f (x) = x^{2} - m x + m - 1 (m \in R)$ 在 $[- 1, 2]$ 上不单调，则 $m$ 的值可以是.（说明：写出满足条件的一个实数 $m$ 的值）

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6、奇函数 $y = f (x)$ 的局部图象如图所示，则 $f (2)$ 与 $f (4)$ 的大小关系为.

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7、已知函数 $f (x) = 3 - a^{2 x - 1} (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 的图象恒过定点 $A$ ，则定点 $A$ 的坐标为.

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8、函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A、 $ω = 2$ B、 $φ = \frac{π}{3}$ C、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{11 π}{12}$ 对称 D、将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{5 π}{12}$ 个单位长度可得到函数 $g (x) = 2 cos 2 x$ 的图象

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9、下列函数中，既是偶函数又在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递减的是（）

A、 $y = \frac{1}{x^{2}}$ B、 $y = - x^{2} + 1$ C、 $y = e^{- x}$ D、 $y = {log}_{\frac{1}{2}} |x|$

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10、对于函数 $f (x)$ ，若存在 $x_{0} \in R, f (x_{0}) = x_{0}$ ，则称 $x_{0}$ 为 $f (x)$ 的不动点.若函数 $f (x) = m x^{2} + (n - 1) x + n - 8$ 对 $\forall n \in R$ 恒有两个相异的不动点，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(0, 6)$ B、 $(0, 6]$ C、 $(- \infty, 0]\cup[6, + \infty)$ D、 $(- \infty, 0) \cup (6, + \infty)$

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11、双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”.为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇.Peukert于1898年提出蓄电池的容量 $C$ （单位： $A \cdot h$ ），放电时间 $t$ （单位： $h$ ）与放电电流 $I$ （单位： $A$ ）之间关系的经验公式 $C = I^{n} \cdot t$ ，其中 $n = \log_{\frac{3}{2}} 2$ 为Peukert常数.在电池容量不变的条件下，当放电电流 $I =10A$ 时，放电时间 $t = 56 h$ ，则当放电电流 $I = 15 A$ 时，放电时间为（）

A、27h B、27.5h C、28h D、28.5h

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12、设 $a = {0.7}^{6}, b = 6^{0.7}, c = {log}_{0.7} 6$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $c < b < a$ D、 $c < a < b$

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13、已知函数 $f (x) = 3^{x} - x^{2}$ ，则在下列区间中使函数 $f (x)$ 有零点的区间是（）

A、 $(- 2, - 1)$ B、 $(- 1, 0)$ C、 $(0, 1)$ D、 $(1, 2)$

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14、函数 $f (x) = {log}_{\frac{1}{2}} (x^{2} - 2 x - 3)$ 的单调递增区间是（）

A、 $(1, + \infty)$ B、 $(3, + \infty)$ C、 $(- \infty, 1)$ D、 $(- \infty, - 1)$

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15、若函数 $f (x) = x + \frac{1}{x - 2} (x > 2)$ 在 $x = a$ 处取得最小值，则 $a$ 等于（）

A、 $1 + \sqrt{2}$ B、 $1 + \sqrt{3}$ C、3 D、4

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16、已知命题 $p : \forall x \in R, x^{2} \geq 2$ ，则命题 $p$ 的否定是（）

A、 $\forall x \in R, x^{2} \leq 2$ B、 $\exists x \in R, x^{2} \leq 2$ C、 $\exists x \in R, x^{2} < 2$ D、 $\forall x \in R, x^{2} < 2$

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17、 $cos \frac{35 π}{6}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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18、某大学有甲､乙两个运动场.假设同学们可以任意选择其中一个运动场锻炼，也可选择不锻炼，一天最多锻炼一次，一次只能选择一个运动场.若同学们每次锻炼选择去甲或乙运动场的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，每次选择相互独立.设王同学在某个假期的三天内去运动场锻炼的次数为 $X$ ，已知 $X$ 的分布列如下：（其中 $a > 0, 0 < p < 1$ ）
$X$
0
1
2
3
$P$
$a {(1 - p)}^{2}$
$\frac{a}{p}$
$a$
$a (1 - p)$

(1)、记事件 $A_{i}$ 表示王同学假期三天内去运动场锻炼 $i$ 次 $(i = 0, 1, 2, 3)$ ，事件 $B$ 表示王同学在这三天内去甲运动场锻炼的次数大于去乙运动场锻炼的次数.当 $p = \frac{1}{2}$ 时，试根据全概率公式求 $P (B)$ 的值；

(2)、是否存在实数 $p$ ，使得 $E (X) = \frac{5}{3}$ ？若存在，求 $p$ 的值：若不存在，请说明理由；

(3)、记 $M$ 表示事件“甲运动场举办锻炼有奖的抽奖活动”， $N$ 表示事件“王同学去甲运动场锻炼”， $0 < P (M) < 1$ .已知王同学在甲运动场举办锻炼有奖的抽奖活动的情况下去甲运动场锻炼的概率，比不举办抽奖活动的情况下去甲运动场锻炼的概率大，证明： $P (M ∣ N) > P (M ∣ \bar{N})$ .

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19、已知抛物线 $E : y^{2} = 4 x$ ，点 $A, B, C$ 在抛物线 $E$ 上，且 $A$ 在 $x$ 轴上方， $B$ 和 $C$ 在 $x$ 轴下方（ $B$ 在 $C$ 左侧）， $A, C$ 关于 $x$ 轴对称，直线 $A B$ 交 $x$ 轴于点 $M$ ，延长线段 $C B$ 交 $x$ 轴于点 $Q$ ，连接 $Q A$ .

(1)、证明： $\frac{|O M|}{|O Q|}$ 为定值（ $O$ 为坐标原点）；

(2)、若点 $Q$ 的横坐标为 $- 1$ ，且 $\vec{M B} \cdot \vec{M C} = \frac{8}{9}$ ，求 $△ A Q B$ 的内切圆的方程.

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20、已知函数 $f (x) = {(x - 1)}^{2} e^{x} - a x$ ，且曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (x))$ 处的切线方程为 $y = - 2 x + b$ ．

(1)、求实数 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、证明：函数 $f (x)$ 有两个零点．

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$X$	0	1	2	3
$P$	$a {(1 - p)}^{2}$	$\frac{a}{p}$	$a$	$a (1 - p)$