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相关试卷

1、已知A为抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（）

A、4 B、6 C、8 D、10

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2、虚轴长为2，离心率 $e = 3$ 的双曲线两焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 作直线交双曲线的一支于 $A$ 、 $B$ 两点，且 $| A B | = 8$ ，则 $△ A B F_{2}$ 的周长为（）

A、3 B、16+ $\sqrt{2}$ C、12+ $\sqrt{2}$ D、24

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3、已知点 $A (- 2, 0)$ ， $B (2, 0)$ ，直线 $P A$ 的斜率为 $k_{1}$ ，直线 $P B$ 的斜率为 $k_{2}$ ，若 $k_{2} - k_{1} = 1$ ，则点 $P$ 的轨迹为不包含 $A$ ， $B$ 两点的（）

A、直线 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线

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4、若直线 $x - y + a = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $∠ A O B = 120 °$ （ $O$ 为坐标原点），则 $|a| =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $2 \sqrt{2}$

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5、直线 $\sqrt{3} x + y + 2 = 0$ 的倾斜角及在y轴上的截距分别是（）

A、 $60 °$ ， 2 B、 $60 °$ ， $- 2$ C、 $120 °$ ， $- 2$ D、 $120 °$ ， 2

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6、已知椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $P$ 为 $C_{1}$ 上一点， $Q$ 为圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} = 4$ 上一点， $|P Q|$ 的最大值为 $2 + \sqrt{2}$ ．

(1)、求椭圆 $C_{1}$ 的标准方程；

(2)、若圆 $C_{2}$ 与 $x$ 轴正半轴交于点 $M$ ，过 $M$ 作直线 $l$ ，与 $C_{1}$ 相交于不同的两点 $A$ ， $B$ ，求 $△ A B F$ 面积的最大值．

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7、定义在 $(0, + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 满足下列条件：（1） $f (\frac{x}{y}) = y f (x) - x f (y)$ ；（2）当 $x > 1$ 时， $f (x) > 0$ ，则（）

A、 $f (1) = 0$ B、 $f (x^{2}) \geq 2 f (x)$ C、当 $0 < x < 1$ 时， $f (x) < 0$ D、 $f (x)$ 在 $(1, + \infty)$ 上单调递增

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8、已知在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $\sqrt{3} c sin A = 2 a {cos}^{2} \frac{C}{2}$ ．

(1)、求角 $C$ ；

(2)、若 $D$ 为边 $A C$ 上一点，且 $B D = B C = \frac{\sqrt{3}}{3} A B$ ，求 $\frac{C D}{A D}$ 的值．

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9、如图，平行四边形ABCD中， $A E = 2 E B, D F = F C$ ，若 $\vec{C B} = \vec{a}, \vec{C E} = \vec{b}$ ，则 $\vec{A F} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{3}{2} \vec{b}$ B、 $\frac{3}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{3}{2} \vec{b}$ D、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{3}{2} \vec{b}$

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10、函数 $y = \frac{2 x}{\ln |x|}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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11、如图，在四棱锥 $P - A B M N$ 中， $△ P M N$ 是边长为1的正三角形，面 $P M N ⊥$ 面 $A M N$ ， $A N // B M$ ， $A N ⊥ N P$ ， $A N = 2 B M = 2$ ， C为 $P A$ 的中点.

(1)、求证： $B C //$ 平面 $P M N$ ；

(2)、线段 $P A$ 上是否存在点F，使二面角 $F - M N - P$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{201}}{67}$ ，若存在，求 $P F$ .若不存在，请说明理由.

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12、下列说法正确的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ B、若 $a < b$ ， $c > d$ ，则 $a - c < b - d$ C、若 $a > b$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ D、若 $a^{3} > b^{3}$ ，则 $a > b$

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13、三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B = A C = \sqrt{2}, A B ⊥ A C$ ，平面 $P B C ⊥$ 平面 $A B C$ ，且 $P B = P C$ .记 $P - A B C$ 的体积为 $V$ ，内切球半径为 $r$ ，则 $\frac{2}{r} - \frac{1}{V}$ 的最小值为.

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14、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，公差为 $d, a_{1} = 2$ ，若 $\sqrt{S_{n} - a_{n}}$ 也为等差数列，则 $d$ 的值为（）

A、2 B、3 C、4 D、8

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15、已知直线 $y = x$ 是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的一条渐近线，则 $C$ 的离心率等于（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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16、如图所示，棱长为3的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，P为线段 $A_{1} B$ 上的动点(不含端点)，则下列结论正确的是（）

A、 $D_{1} P ⊥ A B_{1}$ B、 $D_{1} P$ 与 $A C$ 所成的角可能是 $\frac{π}{6}$ C、 $\vec{A P} \cdot \vec{D C_{1}}$ 是定值 D、当 $A_{1} P = 2 P B$ 时，点 $C_{1}$ 到平面 $D_{1} A P$ 的距离为2

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17、已知空间中三个向量 $\vec{a} = (1, 2, 0)$ ， $\vec{b} = (- 1, 2, 1)$ ， $\vec{c} = (- 1, - 2, 1)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\vec{a}$ 与 $\vec{c}$ 是共线向量 B、与 $\vec{a}$ 同向的单位向量是 $(\frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{2 \sqrt{5}}{5}, 0)$ C、 $\vec{c}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影向量是 $(- 1, - 2, 0)$ D、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $90 °$

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18、若函数 $f (x) = {(\frac{1}{3})}^{|x|} + m - 1$ 至少有一个零点，则 $m$ 的取值范围为（）

A、 $m < 1$ B、 $m \geq 1$ C、 $0 \leq m < 1$ D、 $0 \leq m \leq 1$

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19、意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”．记斐波那契数列为 $\{a_{n}\}$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则（）

A、 $a_{9} = 34$ B、 $S_{7} = 32$ C、 $a_{1} + a_{2} + a_{4} + a_{6} + \dots + a_{2024} = a_{2025}$ D、 $a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2} + \dots + a_{2023}^{2} = a_{2023} a_{2024}$

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20、过曲线 $y = f (x)$ 上一点 $P$ 作其切线，若恰有两条，则称 $P$ 为 $f (x)$ 的“ $A$ 类点”；过曲线 $y = f (x)$ 外一点 $Q$ 作其切线，若恰有三条，则称 $Q$ 为 $f (x)$ 的“ $B$ 类点”；若点 $R$ 为 $f (x)$ 的“ $A$ 类点”或“ $B$ 类点”，且过 $R$ 存在两条相互垂直的切线，则称 $R$ 为 $f (x)$ 的“ $C$ 类点”．

(1)、设 $f (x) = \frac{1}{x^{2}}$ ，判断点 $P (1, 1)$ 是否为 $f (x)$ 的“ $A$ 类点”，并说明理由；

(2)、设 $f (x) = x^{3} - m x$ ，若点 $Q (2, 0)$ 为 $f (x)$ 的“ $B$ 类点”，且过点 $Q$ 的三条切线的切点横坐标可构成等差数列，求实数 $m$ 的值；

(3)、设 $f (x) = \frac{x + 1}{e^{x}}$ ，证明： $y$ 轴上不存在 $f (x)$ 的“ $C$ 类点”．

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