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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ （ $a > 0$ ）存在两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ （ $x_{1} < x_{2}$ ），且 $f (x_{1}) = x_{1}$ ， $f (x_{2}) = - x_{2}$ .设 $f (x)$ 的零点个数为m，方程 $3 a {(f (x))}^{2} + 2 b f (x) + c = 0$ 的实根个数为n，则（）

A、 $x_{2} > 0$ B、n的取值为2、3、4 C、 $m n = m + n + 2$ D、mn的取值为3、6、9

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2、树人中学的科学社团设计了一块如下图所示的正反面内容相同的双面团牌，给团牌的正反两面6个区域涂色，有3种不同颜色可选，要求同面有公共边的区域不同色，同一区域的两面也不同色，则不同的涂色方法的种数为（）

A、36 B、48 C、54 D、56

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3、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $N$ 在对角线 $A_{1} C$ 上，点 $M$ 在对角线 $A_{1} B$ 上， $\vec{A_{1} N} = \frac{1}{3} \vec{N C}$ ， $\vec{A_{1} M} = \frac{1}{2} \vec{M B}$ ，以下命题正确的是（）

A、 $\vec{M N}$ $/ / \vec{B C}$ B、 $D_{1}$ 、 $N$ 、 $M$ 三点共线 C、 $D_{1} M$ 与 $A_{1} C$ 是异面直线 D、 $\vec{D_{1} N} = \frac{1}{2} \vec{N M}$

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4、曲线 $f (x) = e^{x} - 3 x$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）

A、1 B、3 C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{3}$

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5、已知数列 $1, - 3, 5, - 7, 9, \dots$ ，则该数列的第99项为（）

A、 $- 197$ B、197 C、 $- 199$ D、199

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6、在 ${(1 + 3 x)}^{5}$ 展开式中， $x^{2}$ 的系数为（）

A、15 B、90 C、270 D、405

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7、已知向量 $\vec{a} = (x, 1, 1), \vec{b} = (- 2, 2, y)$ ，满足 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $2 x - y =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- 2$ D、2

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8、已知函数 $f (x) = e^{x} cos x$ ， $g (x) = x - cos x$ ．

(1)、对任意的 $x \in [- \frac{π}{2}, 0]$ ， $t f (x) - g^{'} (x) \geq 0$ 恒成立，求实数 $t$ 的取值范围；

(2)、设方程 $f (x) = g^{'} (x)$ 在区间 $(2 n π + \frac{π}{3}, 2 n π + \frac{π}{2}) (n \in N^{*})$ 内的根从小到大依次为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{n}$ ， …，求证： $x_{n + 1} - x_{n} > 2 π$ ．

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9、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右顶点为 $A (2, 0)$ ，且其两个焦点与短轴顶点相连形成的四边形为正方形．过点 $T (t, 0) (- 2 < t < 2)$ 且与 $x$ 轴不重合的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点．
（1）求椭圆 $C$ 的方程；
（2）试判断是否存在实数 $t$ ，使得 $\overset{⃑}{A P} \cdot \overset{⃑}{A Q}$ 为定值．若存在，求出 $t$ 的值，并求出该定值；若不存在，请说明理由．

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10、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, 0 < ω < 3, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求 $f (x)$ 的单调递减区间；

(3)、若不等式 $f (x) \geq m$ 在 $[- \frac{π}{24}, \frac{5 π}{24}]$ 上恒成立，求m的取值范围.

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11、如图，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $2$ ， $P$ 为底面 $A B C D$ 内（包括边界）的动点，则下列结论正确的是（）．

A、三棱锥 $B_{1} - C_{1} D_{1} P$ 的体积为定值 B、存在点 $P$ ，使得 $D_{1} P ⊥ A C_{1}$ C、若 $D_{1} P ⊥ B_{1} D$ ，则 $P$ 点在正方形底面 $A B C D$ 内的运动轨迹长为 $\sqrt{2}$ D、若点 $P$ 是 $A D$ 的中点，点 $Q$ 是 $B B_{1}$ 的中点，过 $P$ ， $Q$ 作平面 $α ⊥$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ，则平面 $α$ 截正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的截面面积为 $3 \sqrt{3}$

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12、已知函数 $f (x) = {log}_{2} (4^{x} + 4) - x - 1$ ，设 $a = f (\frac{19}{10})$ ， $b = f (tan \frac{1}{10})$ ， $c = f (ln \frac{11}{10})$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $b < c < a$ B、 $a < c < b$ C、 $b < a < c$ D、 $c < a < b$

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13、已知 $F_{1}, F_{2}$ 是双曲线 $C$ 的两个焦点， $P$ 为 $C$ 上除顶点外的一点， $|P F_{1}| = 3 |P F_{2}|$ ，且 $∠ F_{1} P F_{2} > 60 °$ ，则 $C$ 的离心率的取值范围是（）

A、 $(\frac{\sqrt{7}}{2}, 2)$ B、 $(\frac{\sqrt{7}}{2}, 3)$ C、 $(1, 2)$ D、 $(\sqrt{3}, 3)$

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14、已知圆锥的底面半径为1，高为 $\sqrt{3}$ ，过高线的中点且垂直于高线的平面将圆锥截成上、下两部分，则上、下两部分的体积比为（）

A、 $\frac{1}{7}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{8}$

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15、已知 $sin α - \sqrt{2} cos α = 0$ ，则 $cos 2 α =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、0

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16、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{m} - \frac{y^{2}}{4} = 1 (m > 0)$ 的焦距为 $6$ ，则 $m =$ （）

A、 $5$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $9$ D、 $3$

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17、已知一个袋子中装有分别标有数字 $1, 2, 3, \dots, n, n + 1, \dots, 2 n$ 的 $2 n$ 张卡片， $n \in N^{*}$ .

(1)、把这个袋子中的 $2 n$ 张卡片分别放入2个不同的盒子中，每个盒子不空，记分配方法总数为 $A_{n}$ ，求 $A_{1} + A_{2} + A_{3} + \dots + A_{n}$ 的值；

(2)、从这个袋子中依次随机抽取一张卡片.
（ⅰ）若取出的卡片再放回袋子，最多抽取 $n$ 次，直到取到标号为偶数的卡片就停止抽取，记抽取的次数为 $Y$ ，证明： $E (Y) < 2$ ；
（ⅱ）若取出的卡片不再放回袋子，记 $X$ 为最后一张标号为偶数的卡片被取出时所需的抽取次数，求 $E (X)$ .

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18、已知 $f (x) = {log}_{a} [- x^{2} + (2 a + 1) x - 2 a]$ ，（ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）

(1)、求函数 $f (x)$ 的定义域 $A$ ；

(2)、若 $a \in (0, \frac{1}{2})$ ，函数 $f (x)$ 的最小值为2，求 $a$ 的值；

(3)、在（2）的条件下，存在 $x \in A$ ，使得不等式 $4^{1 - x} + 4^{1 + x} - 3 m - 28 \leq m (2^{- x} - 2^{x})$ 成立，求 $m$ 的取值范围．

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19、Chat GPT（恰匹题）（全名：Chat Generative Pre-trained Transformer），是OPENAI研发的聊天机器人程序．Chat GPT是人工智能技术驱动的自然语言处理工具，它能够通过理解和学习人类的语言来进行对话，还能根据聊天的上下文进行互动，真正像人类一样来聊天交流，甚至能完成撰写邮件、视频脚本、文案、翻译、代码，写论文等任务．为了了解是否喜欢该程序与年龄有关联，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了400名居民进行调查，得到如下的 $2 \times 2$ 列联表：

青年
非青年
合计
喜欢
180
40
220
不喜欢
120
60
180
合计
300
100
400

(1)、依据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，能否认为是否喜欢该程序与年龄有关联？

(2)、从抽取出的青年中按照是否喜欢该程序采用分层抽样的方法随机抽取5人，再从这5人中随机抽取3人做进一步调查，记随机变量 $X$ 为这3人中喜欢该程序的人数，求 $X$ 的分布列和数学期望．
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
参考数据：
$α$
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
3.841
6.635
7.879
10.828

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20、若关于 $x$ 的不等式 $x^{2} - 2 m x + m^{2} \leq \frac{1}{4}$ 的解集为A，不等式 $\frac{2 x - 1}{2 - x} \geq 0$ 的解集为 $B$ ．

(1)、已知A是 $B$ 的充分不必要条件，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、设命题 $p : \exists x \in B, x^{2} + (2 n + 1) x - 8 > 0$ ，若命题 $p$ 为假命题，求实数 $n$ 的取值范围．

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	青年	非青年	合计
喜欢	180	40	220
不喜欢	120	60	180
合计	300	100	400

$α$	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	3.841	6.635	7.879	10.828