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相关试卷

1、已知抛物线 $y^{2} = 2 p x$ （ $p > 0$ ）的焦点为 $F$ ，过焦点 $F$ 的直线与抛物线交于点 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ ，点 $A$ 在第一象限， $O$ 为坐标原点.

(1)、求 $|A B|$ 的最小值（用 $p$ 表示）；

(2)、若直线 $O A$ 与抛物线的准线交于点 $E$
（ⅰ）求证： $B E // x$ 轴；
（ⅱ）若直线 $A B$ 的斜率大于零， $A B$ 的中点为 $M$ ，过点 $F$ 作直线 $A B$ 的垂线交抛物线的准线于点 $N$ ， $△ M N F$ 与 $△ B E F$ 的面积相等，求直线 $A B$ 的斜率.

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2、如图，四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的上，下底面为正方形， $C D_{1}$ 与 $C_{1} D$ 交于点 $E$ ，平面 $A_{1} A D D_{1} ⊥$ 平面 $A B C D$ ，平面 $A_{1} A B B_{1} ⊥$ 平面 $A B C D$ .

(1)、证明： $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若 $A A_{1} = A B = 2 A_{1} B_{1}$ ，求直线 $A E$ 与平面 $A_{1} D_{1} C$ 所成角的正弦值.

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3、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 对应的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $cos (\frac{2 π}{3} - A) = \frac{2 a - b}{2 c}$ .

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、若 $c = 2$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值.

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4、已知圆 $C$ 经过 $A (2, - 1)$ ， $B (0, 5)$ ，且圆心在直线 $x - y + 1 = 0$ 上.

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若直线 $l$ ： $y = k x + 4$ 截得圆 $C$ 弦长最短时，求实数 $k$ 的值.

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5、如图所示，由半椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{16} = 1 (x < 0)$ 和两个半圆 $C_{2} : x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4 (x \geq 0)$ ， $C_{3} : x^{2} + {(y + 2)}^{2} = 4 (x \geq 0)$ 组成曲线 $C : F (x, y) = 0$ ，其中点 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别是 $C_{1}$ 的上、下焦点和 $C_{2}$ 、 $C_{3}$ 的圆心.若过点 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 作两条平行线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 分别与 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 和 $C_{1}$ 、 $C_{3}$ 交于 $P$ 、 $Q$ 和 $M$ 、 $N$ ，则 $|M N| + |P Q|$ 的最小值为.

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6、记数列 $\{\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{n} = \frac{1}{4} - \frac{1}{2 a_{n + 1}}, a_{1} = 2$ ，则 $a_{2024} =$ .

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7、已知抛物线 $E$ ： $x^{2} = 2 p y$ （ $p > 0$ ）上一点 $M$ 到其焦点 $F$ 的距离与到 $x$ 轴的距离之差为2，则 $p =$ .

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8、定义 $[m]$ 为不超过 $m$ 的最大整数，例如： $[3] = 3$ ， $[\sqrt{5}] = 2$ .已知集合 $S_{1} = \{a_{1}\}$ ，且 $\forall n \in N^{*}$ ， $a_{n + 1} [a_{n}] = \{\begin{array}{l} \frac{{[a_{n}]}^{2}}{a_{n} - [a_{n}]}, a_{n} - [a_{n}] \neq 0 \\ a_{n}^{2}, a_{n} - [a_{n}] = 0 \end{array}$ ， $S_{n + 1} = S_{n} \cup \{a_{n + 1}\}$ ，下列说法正确的是（）

A、若 $a_{1} = \frac{17}{10}$ ，则 $S_{3} = \{\frac{17}{10}, \frac{10}{7}, \frac{7}{3}\}$ B、若 $a_{1} = \sqrt{5}$ ，则 $S_{n}$ 的真子集个数为 $2^{n} - 1$ C、记 $T_{n}$ 为 $S_{n}$ 中所有元素之和，且 $T_{n} = n a_{n - 1}$ （ $n \geq 2$ ），则数列 $\{a_{n}\}$ 的单调性无法确定 D、若 $a_{1} = \sqrt{m^{2} + 2 m}$ （ $m \in N^{*}$ ），正整数 $n_{0}$ 满足：对任意 $m \in N^{*}$ ， $n \geq n_{0}$ ，都有 $S_{n + 1} = S_{n}$ ，则 $n_{0}$ 的最小值为3

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9、如图，点 $P$ 在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的面对角线 $B C_{1}$ 上运动 $(P$ 点异于 $B, C_{1}$ 点），则下列结论正确的是（）

A、异面直线 $B D$ 与 $A B_{1}$ 所成角为60° B、 $A_{1} P ⊥ B_{1} D$ C、三棱锥 $P - A C D_{1}$ 的体积为 $\frac{1}{3}$ D、直线 $A_{1} P$ 与平面 $A D_{1} C_{1} B$ 所成角的正弦值的取值范围为 $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{3}]$

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10、已知双曲线 $Γ$ ： $y^{2} - \frac{x^{2}}{m^{2}} = 1$ 的上焦点为 $F$ ，直线 $l$ ： $m x + y = 0$ 是 $Γ$ 的一条渐近线， $P$ 是 $Γ$ 上支上的一点， $O$ 为坐标原点，则（）

A、 $F$ 到 $l$ 的距离为2 B、 $Γ$ 的焦距为 $\sqrt{2}$ C、 $Γ$ 的离心率为 $\sqrt{2}$ D、若 $A (2, 3 \sqrt{2})$ ，则 $|P A| + |P F|$ 的最小值为4

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11、已知正四面体 $A B C D$ 的顶点 $B$ ， $C$ ， $D$ 均在球 $O$ 的表面上，球心 $O$ 在平面 $B C D$ 内，棱 $A B$ 与球面交于点 $P$ .若 $A \in$ 平面 $α_{1}$ ， $B \in$ 平面 $α_{2}$ ， $C \in$ 平面 $α_{3}$ ， $D \in$ 平面 $α_{4}$ ， $α_{i} ∥ α_{i + 1}$ （ $i = 1, 2, 3$ ）且 $α_{i}$ 与 $α_{i + 1}$ （ $i = 1, 2, 3$ ）之间的距离为同一定值，棱 $A C$ ， $A D$ 分别与 $α_{2}$ 交于点 $Q$ ， $R$ ，若 $△ P Q R$ 的周长为 $\frac{2 (\sqrt{21} + \sqrt{3})}{3}$ ，则球 $O$ 的半径为（）

A、2 B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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12、在 $△ A B C$ 中，已知 $B C = 5$ ， $A C = 2$ ， $∠ A C B = \frac{π}{3}$ ， $D$ 是 $B C$ 的中点， $E$ 是线段 $A D$ 上一点，且 $A E = \frac{1}{3} A D$ .连接 $C E$ 并延长交 $A B$ 于点 $P$ ，则线段 $C P$ 的长度为（）

A、 $\frac{\sqrt{127}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{129}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{133}}{5}$ D、 $\frac{12}{5}$

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13、已知函数 $f (x) = - sin \frac{x}{2}$ ， $g (x) = 4 sin (ω x + \frac{π}{6})$ （ $ω > 0$ ），若 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 在区间 $[0, 2 π]$ 上有且仅有3个交点，则 $ω$ 的最小值是（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{7}{3}$ C、 $\frac{23}{12}$ D、 $\frac{17}{12}$

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14、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，若椭圆上一点P满足 $P F_{2} ⊥ F_{1} F_{2}$ ，且 $|P F_{1}| = 2 |P F_{2}|$ ，则椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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15、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $\frac{S_{n}}{a_{n}} = \frac{n + 1}{2}$ ，则 $\frac{a_{5}}{a_{9}} =$ （）

A、 $\frac{5}{9}$ B、 $\frac{9}{5}$ C、 $\frac{9}{25}$ D、 $\frac{25}{9}$

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16、以点 $A (2, 3)$ 为圆心，且与 $x$ 轴相切的圆的标准方程为（）

A、 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 9$ B、 ${(x + 2)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 9$ C、 ${(x + 2)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 4$ D、 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4$

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17、在复平面内，复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 对应的向量分别是 $\vec{O A} = (1, 2)$ ， $\vec{O B} = (2, 2)$ ，则 $|z_{1} + z_{2}| =$ （）

A、2 B、4 C、5 D、6

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18、已知集合 $M = \{x |y = ln (x - 1)\}$ ， $N = \{y |y = e^{x}\}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $(\frac{1}{2}, + \infty)$ B、 $(1, + \infty)$ C、 $(0, 1)$ D、 $[1, + \infty)$

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19、有以下判断，其中是正确判断的有（）

A、 $f (x) = \frac{|x|}{x}$ 与 $g (x) = \{\begin{matrix} 1, x \geq 0 \\ - 1, x < 0 \end{matrix}$ 表示同一函数 B、函数 $y = f (x)$ 的图象与直线 $x = 1$ 的交点最多有1个 C、 $f (x) = x^{2} - 2 x + 1$ 与 $g (t) = t^{2} - 2 t + 1$ 是同一函数 D、函数 $y = f (x + 1)$ 的定义域为 $[1, 2]$ ，则函数 $y = f (2 x - 1)$ 的定义域为 $[\frac{3}{2}, 2]$

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20、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $C_{1}$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l} x = - t, \\ y = \sqrt{3} t \end{array}$ （ $t$ 为参数），曲线 $C_{2}$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l} x = a + cos α, \\ y = sin α \end{array}$ （ $α$ 为参数），以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)、求 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的极坐标方程；

(2)、若 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 的两不同交点 $A, B$ 满足 $\vec{O A} = 2 \vec{O B}$ ，求 $a$ 的值．

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