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相关试卷

1、下列求导运算正确的是（）

A、若 $f (x) = \cos (2 x + 1)$ ，则 $f^{'} (x) = 2 \sin (2 x + 1)$ B、若 $f (x) = e^{- 2 x + 3}$ ，则 $f^{'} (x) = - 2 e^{- 2 x + 3}$ C、若 $f (x) = \frac{x}{e^{x}}$ ，则 $f^{'} (x) = \frac{1 + x}{e^{x}}$ D、若 $f (x) = x \lg x$ ，则 $f^{'} (x) = \lg x + \frac{1}{\ln 10}$

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2、已知椭圆 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，点 $A$ 为椭圆短轴的上端点， $P$ 为椭圆上异于 $A$ 点的任一点，若 $P$ 点到 $A$ 点距离的最大值仅在 $P$ 点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”，已知 $b = 3$ .

(1)、若离心率 $e = \frac{1}{2}$ ，判断椭圆 $Γ$ 是否为“圆椭圆”；

(2)、若椭圆 $Γ$ 是“圆椭圆”，求 $a$ 的取值范围；

(3)、若椭圆 $Γ$ 是“圆椭圆”，且 $a$ 取最大值， $Q$ 为 $P$ 关于原点 $O$ 的对称点， $Q$ 也异于 $A$ 点，直线 $A P$ 、 $A Q$ 分别与 $x$ 轴交于 $M$ 、 $N$ 两点，试问以线段 $M N$ 为直径的圆是否过定点，并说明理由.

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3、如图，已知等腰梯形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， $B C = 2 A B = 4$ ， $∠ B C D = 60^{\circ}$ ， $E$ 是 $B C$ 的中点， $A E \cap B D = M$ ，将梯形 $A B C D$ 沿着 $A E$ 翻折成 $B_{1} - A E C D$ ，使 $B_{1} D = \sqrt{6}$ .

(1)、求证： $B_{1} M ⊥$ 平面 $A E C D$ ；

(2)、求平面 $B_{1} C E$ 与平面 $B_{1} A D$ 夹角的正弦值；

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4、已知锐角三角形 $A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，向量 $\vec{m} = (1, \sqrt{3} sin B - cos B)$ ， $\vec{n} = (cos A, cos C)$ ， $\vec{m} / / \vec{n}$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、求 $\frac{2 b}{c}$ 的取值范围.

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5、已知圆 $C$ 经过点 $A (1, 1)$ 和原点，且圆心在直线 $x - y - 1 = 0$ 上.

(1)、求圆 $C$ 的方程：

(2)、过点 $B (2, 2)$ 作圆 $C$ 的切线，求切线方程.

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6、为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了20名工人某天生产该产品的数量（单位：个），产品数量的分组区间为 $[10, 15)$ ， $[15, 20)$ ， $[20, 25)$ ， $[25, 30)$ ， $[30, 35]$ ，频率分布直方图如图所示.

(1)、估计样本数据的75%分位数；

(2)、从产品数量在 $[20, 25)$ 和 $[30, 35)$ 的工人中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人进行座谈，则这3名工人在同一组的概率是多少.

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7、已知定义在 $(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x y) = f (x) + f (y) + 2$ ，且当 $x > 1$ 时， $f (x) > - 2$ ，则不等式 $f (2) + f (x - 2) < f (- 1) - 2$ 的解集为.

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8、若双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ ，满足 $b = 2 a$ ，则 $C$ 的离心率为.

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9、已知 $cos (α + \frac{π}{2}) = - \frac{1}{2}$ ，则 $sin α =$ .

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10、已知曲线 $Ω : x |x| + y |y| = 1$ ，下列结论正确的是（）

A、曲线 $Ω$ 关于 $y = x$ 对称 B、曲线 $Ω$ 刚好经过2个整点（即横、纵坐标均为整数的点） C、若点 $A (x, y)$ 在曲线 $Ω$ 上，则 $4 - \sqrt{2} \leq |x + y - 4| < 4$ D、曲线 $Ω$ 与直线 $x + y + \sqrt{2} = 0$ 有且只有一个交点

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11、已知 $Q (x, y)$ 是圆 $C : {(x - 3)}^{2} + y^{2} = 4$ 上的动点，点 $P (- 2, 3)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $|P Q|$ 的最小值为6 B、 $|P Q|$ 的最大值为8 C、 $\frac{y}{x}$ 的最小值为 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ 的最大值为5

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12、已知函数 $f (x) = ln x - 2^{x} + x^{2}$ ，下列区间中存在函数 $f (x)$ 零点的是（）

A、 $(1, 2)$ B、 $(2, 3)$ C、 $(3, 4)$ D、 $(4, 5)$

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13、如图，在棱长为2的正方体中，有8个以正方体顶点为球心且半径相等的部分球体 $O_{i} (i = 1, 2, \dots, 8)$ ，有1个以正方体体心为球心的球体 $O_{0}$ ， $O_{0}$ 与 $O_{i} (i = 1, 2, \dots, 8)$ 均相切，则该9部分的体积和的范围是（）

A、 $[\sqrt{2} π, \sqrt{3} π]$ B、 $[\sqrt{3} π, 2 π)$ C、 $[\sqrt{3} π, 2 π]$ D、 $[\sqrt{3} π, (8 \sqrt{3} - 12) π]$

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14、设集合 $A = \{- 1, 0, 1\}$ ，集合 $B = \{(x_{1}, x_{2}, x_{3}) ∣ x_{i} \in A, i = 1, 2, 3\}$ ，那么集合 $B$ 中满足 $|x_{1} x_{2}| + |x_{3}| \geq 1$ 的元素的个数为（）

A、12 B、18 C、22 D、24

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15、若角 $α$ 满足 $tan α = - 2$ ，则 $cos 2 α =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $- \frac{3}{5}$ D、 $- \frac{4}{5}$

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16、已知 $a$ ， $b$ 是两条不同直线， $m$ ， $n$ 是两个不同平面，下列结论正确的是（）

A、 $m / / α$ ， $n \subset α$ ，则 $m / / n$ B、 $m \subset α$ ， $n \subset β$ ， $α / / β$ ，则 $m / / n$ C、 $m ⊥ α$ ， $n \subset α$ ，则 $m ⊥ n$ D、 $m \subset α$ ， $n \subset β$ ， $α ⊥ β$ ，则 $m ⊥ n$

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17、如图，已知电路中3个开关闭合的概率都是 $\frac{1}{2}$ ，且是相互独立的，则灯 $L_{1}$ 亮的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{3}{8}$ D、 $\frac{5}{8}$

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18、设 $a = {0.1}^{2}$ ， $b = 2^{0.1}$ ， $c = {log}_{2} 0.1$ ，则（）

A、 $c < a < b$ B、 $b < a < c$ C、 $a < b < c$ D、 $c < b < a$

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19、已知 $i$ 为虚数单位，则 $|1 - i| =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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20、抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的准线方程是（）

A、 $x = 2$ B、 $x = - 2$ C、 $x = 1$ D、 $x = - 1$

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