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相关试卷

1、如图，已知四面体 $A B C D$ 中， $A B ⊥ B D$ ， $B C ⊥ C D$ ， $A D = 2 B C = 2 C D = 4$ ，平面 $A B C ⊥$ 平面 $A C D$ .

(1)、求证： $A B ⊥ C D$ ；

(2)、在线段 $B D$ 上是否存在一点 $E$ ，使得直线 $C E$ 与平面 $A C D$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，若存在，求出 $\frac{B E}{B D}$ 的值，若不存在，请说明理由；

(3)、在此四面体中任取两条棱，记它们互相垂直的概率为 $P_{1}$ ；任取两个面，记它们互相垂直的概率为 $P_{2}$ ；任取一个面和不在此面上的一条棱，记它们互相垂直的概率为 $P_{3}$ .试比较 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ， $P_{3}$ 的大小.

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2、已知函数 $f (x) = a e^{x} - ln x + b x$ .

(1)、若 $a = 0$ ， $b = 1$ ，求 $f (x)$ 的单调区间和极值；

(2)、若 $b = 0$ ，证明：当 $a > 0$ 时， $f (x) \geq 2 + ln a$ .

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3、记锐角 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $a \sin 2 C = \sqrt{3} c \sin A$ .

(1)、求角 $C$ ；

(2)、若 $b = 1$ ，求 $△ A B C$ 面积的取值范围.

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4、国产动画电影《哪吒之魔童闹海》现已登顶全球动画电影票房榜榜首，并刷新多项世界票房纪录.下表截取了该电影上映后10日的单日累计票房：

日期	1月29日	1月30日	1月31日	2月1日	2月2日	2月3日	2月4日
日期代码 $x$	1	2	3	4	5	6	7
累计票房 $y$ （亿元）	4.88	9.68	15.87	23.19	31.32	39.76	48.43
日期	2月5日	2月6日	2月7日
日期代码 $x$	8	9	10
累计票房 $y$ （亿元）	54.92	60.78	66.20

(1)、请根据这10日数据：

（i）计算 $x$ ， $y$ 的平均值 $\bar{x}$ ， $\bar{y}$ ；

（ii）求 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程；

(2)、用上面求出的经验回归方程预测该电影上映半年后的票房，得到的结果合理吗？为什么？

附：

参考公式：经验回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ；

参考数据： $\sum_{i = 1}^{10} y_{i} = 355.03$ ， $\sum_{i = 1}^{10} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = 594.495$ .

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5、在公比不为1的等比数列 $\{a_{n}\}$ 中，若 $a_{2025} = 1$ ，且有 $a_{1} a_{2} \cdot \cdot \cdot a_{5} = a_{1} a_{2} \cdot \cdot \cdot a_{m - 5} (m \in N^{*}, m > 5)$ 成立，则 $m =$ .

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6、 $(1 + x + x^{2}) {(1 - x)}^{10}$ 展开式中含 $x^{4}$ 项的系数为.

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7、椭圆 $C$ 上一点 $P$ 到其两焦点 $F_{1} (- 8, 0)$ ， $F_{2} (8, 0)$ 的距离之和等于20，则椭圆 $C$ 的标准方程为.

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8、某次考试结束后，甲、乙两人去询问分数.老师对两人说：你们的分数相同，是一个两位的素数，并将这个素数的十位、个位数字分别告诉甲、乙.两人写出所有两位素数（11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97）后，对话如下：
甲：我不知道这个素数是多少.
乙：我早就知道你不可能知道.
甲：我还是不知道.
乙：我也早就知道你刚才不可能知道.
甲：我现在知道了.
则这个素数（）

A、不是97 B、十位数字不是3，6 C、是43 D、是73

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9、已知点 $A (- 1, 0)$ ， $B (2, 0)$ ，动点 $P$ 满足 $|P A| = 2 |P B|$ ，记点 $P$ 的轨迹为曲线 $C$ ，则下列说法中正确的是（）

A、曲线 $C$ 的方程为 ${(x - 3)}^{2} + y^{2} = 4$ B、 $|A P|$ 的最大值为6 C、点 $B$ 到直线 $A P$ 的距离的最大值为2 D、设直线 $B P$ 与曲线 $C$ 的另一个交点为 $Q$ ，则 $∠ B A P = ∠ B A Q$

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10、已知函数 $f (x) = cos (3 x - \frac{π}{6})$ ，下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $\frac{2 π}{3}$ B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{π}{9}$ 对称 C、 $f (x)$ 在 $[\frac{7 π}{18}, \frac{13 π}{18}]$ 上单调递增 D、将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{2 π}{9}$ 个单位长度后得到 $g (x)$ 的图象，则 $g (x) = - sin 3 x$

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11、已知 $a, b \in R$ ，且 $a b \neq 0$ ，对于任意 $x \geq 0$ 均有 $(x - a) (x - b) (x - a - 2 b) \geq 0$ ，则（）

A、 $a > 0$ B、 $a < 0$ C、 $b > 0$ D、 $b < 0$

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12、已知双曲线渐近线的斜率的绝对值大于 $\sqrt{3}$ ，则该双曲线离心率的取值范围是（）

A、 $(2, + \infty)$ B、 $(1, \frac{4}{3})$ C、 $(1, \frac{4}{3}) \cup (2, + \infty)$ D、 $(1, \frac{2 \sqrt{3}}{3}) \cup (2, + \infty)$

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13、已知正四棱锥的所有顶点都在同一个球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为2，则球的体积为（）

A、 $9 π$ B、 $\frac{9}{2} π$ C、 $\frac{9}{4} π$ D、 $\frac{27}{8} π$

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14、记 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{3} + a_{7} = 10$ ， $a_{5} a_{9} = 65$ ，则 $\frac{S_{n}}{n} =$ （）

A、 $14 - n$ B、 $n - 2$ C、 $12 - n$ D、 $n - 4$

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15、已知向量 $\vec{a} = (3, - 4)$ ， $\vec{b} = (x, 2)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x$ 的值为（）

A、 $\frac{8}{3}$ B、 $- \frac{8}{3}$ C、 $\frac{3}{8}$ D、 $- \frac{3}{8}$

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16、已知 $(1 + i) z = 4$ ，则 $z =$ （）

A、 $2 + 2 i$ B、 $2 - 2 i$ C、 $- 2 + 2 i$ D、 $- 2 - 2 i$

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17、下列函数中为奇函数的是（）

A、 $y = x + 1$ B、 $y = cos x$ C、 $y = tan 2 x$ D、 $y = \sqrt{3 x}$

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18、已知集合 $A = \{x |1 < x \leq 6\}$ ， $B = \{2, 4, 6, 8\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{6\}$ B、 $\{2, 4\}$ C、 $\{2, 4, 6\}$ D、 $\{1, 2, 4, 6\}$

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19、对于一个递增正整数数列 $\{a_{n}\}$ ，如果它的奇数项为奇数，偶数项为偶数，则称它是一个交错数列．规定只有一项且是奇数的数列也是一个交错数列．将每项都取自集合 $\{1, 2, \dots, n\}$ 的所有交错数列的个数记为 $A_{n}$ ．例如，当 $n = 1$ 时，取自集合 $\{1\}$ 的交错数列只有1一种情况，则 $A_{1} = 1$ ；当 $n = 2$ 时，取自集合 $\{1, 2\}$ 的交错数列有1和1，2两种情况，则 $A_{2} = 2$ ．

(1)、求 $A_{3}$ 和 $A_{4}$ 的值；

(2)、证明：取自集合 $\{1, 2, \dots, n\} (n \geq 3)$ 的首项不为1的交错数列的个数为 $A_{n - 2}$ ；

(3)、记数列 $\{A_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求使得 $S_{n} > 2025$ 成立的 $n$ 的最小值．

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20、如图1，已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，准线交 $x$ 轴于点 $D$ ，过点 $F$ 作倾斜角为 $θ$ 的直线交抛物线于 $A, B$ 两点（点 $A$ 在第一象限）．当 $θ = \frac{π}{2}$ 时， $|O A| = \sqrt{5}$ ．

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、如图2，把 $△ A D F$ 沿 $D F$ 翻折为 $△ P D F$ ，使得二面角 $P - D F - B$ 的大小为 $\frac{2 π}{3}$ ．
①若 $θ = \frac{π}{3}$ ，求直线 $B D$ 与平面 $P B F$ 所成角的正弦值；
②证明：三棱锥 $D - P B F$ 的体积为定值．

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