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相关试卷

1、已知曲线 $E$ ： $x^{2} + y^{2} - \sqrt{2} |x| - \sqrt{2} |y| = 0 (x^{2} + y^{2} \neq 0)$ ，则（）

A、曲线 $E$ 围成的图形的面积为 $2 + 4 π$ B、曲线 $E$ 的长度为 $4 π$ C、曲线 $E$ 上任意一点到原点的距离的最大值为 $\sqrt{2}$ D、曲线 $E$ 上任意两点间的最大距离为4

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2、一纸盒中共有6张形状和质地一样的卡片，其中4张是红色卡片，2张是黄色卡片.现从纸盒中有放回地随机取4次，每次取1张卡片，取到红色卡片记1分，取到黄色卡片记0分，记4次取卡片所得的总分数为 $X$ ，则（）

A、 $X \sim B (4, \frac{1}{2})$ B、 $P (X = 3) = \frac{32}{81}$ C、 $E (X) = \frac{8}{3}$ D、 $D (X) = \frac{7}{9}$

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3、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $2 f (x + y) f (x - y) = f (x) + f (y)$ ，且 $f (0) \neq 0$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (0) = - 1$ B、函数 $f (x)$ 为奇函数 C、函数 $f (x)$ 有2个零点 D、 $f (2 x) = f (x)$

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4、如图所示，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，若点 $E, F$ 分别满足 $\vec{A E} = \frac{2}{3} \vec{A B}$ ， $\vec{A F} = \frac{2}{3} \vec{A C}$ ，平面 $E B_{1} C_{1} F$ 将三棱柱分成体积为 $V_{1}, V_{2}$ 的两部分，则 $V_{1} : V_{2} =$ （）

A、 $19 : 8$ B、 $2 : 1$ C、 $17 : 10$ D、 $16 : 11$

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5、抛物线 $y^{2} = 8 x$ 上的点到其准线的距离与到直线 $y = 2 x + 3$ 的距离之和的最小值为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{7}}{3}$ C、 $\frac{4 \sqrt{7}}{5}$ D、 $\frac{7 \sqrt{5}}{5}$

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6、某校组织了一次数学测试（满分100分），所有考生的成绩均在 $[50, 100]$ 内，按照 $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ 分成五组.甲、乙两班考生的成绩占比如图所示，则（）

A、成绩在 $[50, 60)$ 内的考生中，乙班人数少于甲班人数 B、甲班成绩的极差比乙班成绩的极差小 C、甲班成绩在 $[80, 90)$ 内的人数最多 D、乙班成绩在 $[70, 80)$ 内的人数最多

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7、“一元二次方程 $a x^{2} - 2 x - 4 = 0 (a \neq 0)$ 有一个正根和一个负根”的必要不充分条件是（）

A、 $a > 0$ B、 $a > - 1$ C、 $a < 0$ D、 $a > 1$

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8、已知 $△ A B C$ 的三个顶点分别为 $A (0, 0) ， B (1, 1) ， C (4, 2)$ .

(1)、求边 $B C$ 所在直线的方程；

(2)、若 $A C$ 的中点为 $D$ ，求边 $A C$ 的垂直平分线 $l$ 的方程；

(3)、求 $△ A B C$ 的外接圆的方程.

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9、已知圆 $C : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 25$ ，直线 $l : (2 m + 1) x + (m + 1) y - 7 m - 4 = 0$ ，则以下命题正确的有（）

A、直线l恒过定点 $(3, 0)$ B、直线l与圆 $C$ 恒相交 C、y轴被圆C截得的弦长为 $4 \sqrt{6}$ D、直线l被圆C截得的弦长最短时， $l$ 的方程为 $2 x - y - 5 = 0$

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10、在平面内，若点P，Q分别是直线l与圆C上的动点，则称 $| P Q |$ 的最小值为直线l与圆C的“线圆距离”，类比到空间中，若点P，Q分别是平面 $α$ 内与球M表面上的动点，则称 $| P Q |$ 的最小值为平面 $α$ 与球M的“面球距离”．如图，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A D // B C$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A D = 2 A B = 2 B C = 8$ ， $A A_{1} = 4$ ，点 $E$ 在线段AD上，且 $A E = 2$ ，点 $F$ 在线段 $A_{1} D_{1}$ 上．

(1)、求直线CD与 $△ A B E$ 外接圆的“线圆距离”；

(2)、求平面 $C D D_{1} C_{1}$ 与三棱锥 $A_{1} - A B E$ 外接球的“面球距离”；

(3)、当平面 $F C D$ 与三棱锥 $A_{1} - A B E$ 外接球的“面球距离”为零时，求 $|A_{1} F|$ 的最大值．

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11、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右顶点 $A$ 和下顶点 $B$ ，过其右焦点 $F$ 的直线 $2 x - y - 2 = 0$ 交椭圆 $C$ 于B，D两点．

(1)、求 $| B D |$ 的值；

(2)、若 $∠ A F D$ 的角平分线交直线 $x = 5$ 于点 $E$ ，证明：E，A，B三点共线．

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12、在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形，侧棱 $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D = P D = 6$ ， $E$ 为线段AD的中点， $F$ 为PC上的一点，且 $\vec{C F} = 2 \vec{F P}$ ．

(1)、求直线EF与平面 $P B D$ 所成的角的正弦值；

(2)、求平面 $B E F$ 与平面 $P A D$ 的夹角的余弦值．

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13、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l_{1}$ 的倾斜角为45°，且经过点 $P (- 1, 2)$ ．

(1)、求 $l_{1}$ 与两坐标轴围成的三角形面积；

(2)、若直线 $l_{2} ⊥ l_{1}$ ，且 $P$ 到 $l_{2}$ 的距离为 $2 \sqrt{2}$ ，求 $l_{2}$ 的方程．

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14、已知椭圆 $Ω$ 的中心在原点，焦点在x轴上， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为 $Ω$ 的两个焦点，动点P在 $Ω$ 上（异于 $Ω$ 的左、右顶点）， $△ P F_{1} F_{2}$ 的重心为G，若直线 $G F_{1}$ 与 $G F_{2}$ 的斜率之积为非零常数 $λ$ ，则 $λ =$ ．

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15、直线 $l : x - m y + 4 m = 0 (m \in R)$ 经过的定点坐标是．

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16、如图，棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，则下列说法正确的是（）

A、若点P满足 $\vec{A P} = λ \vec{A C} (0 \leq λ \leq 1)$ ，则点 $P$ 到平面 $A_{1} B C_{1}$ 的距离等于 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ B、若点 $P$ 满足 $\vec{A P} = λ \vec{A C} (0 \leq λ \leq 1)$ ，则 $|A_{1} P| + |P D_{1}|$ 的最小值是 $\sqrt{3 + \sqrt{6}}$ C、若点 $P$ 满足 $| A P | = 2 | P C |$ ，则 $|A_{1} P|$ 的最小值是 $\frac{\sqrt{41} - 2 \sqrt{2}}{2}$ D、若点 $P$ 满足 $| A P | + | P C | = 2$ ，则 $|D_{1} P|$ 的最小值是 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$

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17、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右焦点，点 $M$ 是 $C$ 上的任意一点，则下列结论成立的是（）

A、 $3 \leq |M F_{1}| \cdot |M F_{2}| \leq 4$ B、 $\sqrt{3} - 1 \leq \vec{M F_{1}} \cdot \vec{M F_{2}} \leq 1$ C、 $2 \sqrt{3} \leq |\vec{M F_{1}} + \vec{M F_{2}}| \leq 4$ D、 $\frac{1}{3} \leq \frac{|M F_{1}|}{|M F_{2}|} \leq 3$

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18、有一组样本数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{n}$ ，其平均数、中位数、方差、极差分别记为 $a_{1}$ ， $b_{1}$ ， $c_{1}$ ， $d_{1}$ ，由这组数据得到新样本数据 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， …， $y_{n}$ ，其中 $y_{i} = 2 x_{1} + 2024 (i = 1, 2, \dots, n)$ ，其平均数、中位数、方差、极差分别记为 $a_{2}$ ， $b_{2}$ ， $c_{2}$ ， $d_{2}$ ，则（）

A、 $a_{2} = 2 a_{1} + 2024$ B、 $b_{2} = 2 b_{1} + 2024$ C、 $c_{2} = 2 c_{1}$ D、 $d_{2} = 2 d_{1}$

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19、点P是 $△ A B C$ 所在平面外一点， $\vec{P A} \cdot \vec{P C} = \vec{P B} \cdot \vec{P C} = 0$ ， $| \vec{P A} + \vec{P B} | = 8 \sqrt{3}$ ， $P C = 12$ ，则点 $P$ 到平面 $A B C$ 距离的最大值是（）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、6 C、 $6 \sqrt{2}$ D、8

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20、人造地球卫星的运行轨道是以地球中心F为一个焦点的椭圆．如果卫星当作质点，地球当作半径为R的球体，卫星轨道的近地点（距离地面最近的点）A距离地面为 $r_{1}$ ，远地点（距离地面最远的点）B距离地面为 $r_{2}$ ，且F，A，B在同一直线上，则卫星轨道的离心率为（）

A、 $\frac{r_{2} - r_{1}}{r_{2} + r_{1} + 2 R}$ B、 $\frac{r_{2} + r_{1} - 2 R}{r_{2} + r_{1}}$ C、 $\frac{r_{2} + r_{1}}{r_{2} + r_{1} + 2 R}$ D、 $\frac{r_{2} + r_{1} - 2 R}{r_{2} - r_{1}}$

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