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相关试卷

1、下列论述正确的有（）

A、若随机变量 $ξ, η$ 满足 $η = 2 ξ + 1$ ，则 $D (η) = 2 D (ξ) + 1$ B、若随机事件 $A$ ， $B$ 满足： $P (A) = \frac{1}{2}$ ， $P (B) = \frac{2}{3}$ ， $P (A \cup B) = \frac{5}{6}$ ，则事件 $A$ 与 $B$ 相互独立 C、基于小概率值 $α$ 的检验规则是：当 $χ^{2} \geq x_{α}$ 时，我们就推断 $H_{0}$ 不成立，即认为 $X$ 和 $Y$ 不独立，该推断犯错误的概率不超过 $α$ ；当 $χ^{2} < x_{α}$ 时，我们没有充分证据推断 $H_{0}$ 不成立，可以认为 $X$ 和 $Y$ 独立 D、若 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程为 $\hat{y} = 0.3 - 0.7 x$ ，则样本点 $(2, - 3)$ 的残差为 $- 1.9$

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2、2022年4月15日，因疫情原因，市物价部门对5家商场的某商品一天的线上销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x（元）和销售量y（件）之间的一组数据如表所示：
价格x
9
9.5
10
10.5
11
销售量y
11
10
8
6
5
按公式计算，y与x的回归直线方程是： $\hat{y} = - 3.2 x + \hat{a}$ ，相关系数 $|r| = 0.986$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\hat{a} = 41$ B、变量 $x, y$ 线性负相关且相关性较强 C、相应于点 $(9.5, 10)$ 的残差约为0.4 D、当 $x = 8$ 时，y的估计值为14.4

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3、某人有一笔闲置资金想用于投资，现有三种投资时间均为10天的方案，这三种方案的回报预期如下：方案一：风险投资，有 $80 %$ 的概率获得回报 $400$ 元，有 $20 %$ 的概率获得回报 $800$ 元；方案二：第一天获得回报 $10$ 元，以后每天获得的回报比前一天多 $10$ 元；方案三：第一天获得回报 $0.5$ 元，以后每天获得的回报都是前一天的两倍.若为使投资的回报最多，应该选择的投资方案是（）

A、方案一 B、方案二 C、方案三 D、都可以

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4、规定 $a * b = \sqrt{a b} + a + b (a b \geq 0)$ ，则函数 $f (x) = 1 * x$ 的值域为

A、 $[1, + \infty)$ B、 $(0, 1)$ C、 $(1, + \infty)$ D、 $[0, + \infty)$

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5、已知 $p$ ： $\log_{2} x < 1$ ，则 $p$ 的充分不必要条件是（）

A、 $x < 2$ B、 $0 < x < 2$ C、 $0 < x < 1$ D、 $0 < x < 3$

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6、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是直角梯形， $A B / / C D, A B ⊥ B C, B C = C D = 2$ ， $P A = P D = A B = 4, P B = 2 \sqrt{6}$ .

(1)、证明：平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、若 $E$ 为 $P C$ 的中点，求平面 $A D E$ 与平面 $A B C D$ 的夹角的余弦值.

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7、为了研究学生的性别与是否喜欢运动的关联性，随机调查了某中学的100名学生，整理得到如下列联表：

男学生
女学生
合计
喜欢运动
40
20
60
不喜欢运动
20
20
40
合计
60
40
100

(1)、能否有90%的把握认为学生的性别与是否喜欢运动有关联？

(2)、按学生的性别以及是否喜欢运动用分层随机抽样的方法从这100名学生中选取10人，再从这10人中任选2人，求至少有1名喜欢运动的男学生被选中的概率
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}, 其中 n = a + b + c + d$ .
$a$
0.1
0.05
0.01
$x_{a}$
2.706
3.841
6.635

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8、在正项等比数列 $\{a_{n}\}$ 中，若 $a_{1} = 9 ， a_{7} = \frac{1}{9}$ ，则数列 $\{a_{n} a_{n + 1} a_{n + 2}\}$ 的公比为

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9、某厂生产一批零件，单个零件的尺寸X（单位：厘米）服从正态分布 $N (10, 0.01)$ ，则（附： $P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) = 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ \leq X \leq μ + 2 σ) = 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ \leq X \leq μ + 3 σ) = 0.9973$ ）（）

A、 $P (X > 10.3) = 0.00135$ B、 $P (X < 9.99) = 0.15865$ C、 $P (9.9 \leq X \leq 10.3) = 0.84$ D、 $P (9.8 \leq X \leq 10.1) = 0.8186$

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10、重庆火锅、朝天门、解放碑、长江三峡、大足石刻、重庆人民大礼堂、合川钓鱼城、巫山人、铜梁龙舞、红岩村为重庆十大文化符号，甲计划按照一定的先后顺序写一篇介绍重庆十大文化符号的文章，若第一个介绍的是重庆火锅，且长江三峡、大足石刻、重庆人民大礼堂、合川钓鱼城、巫山人的介绍顺序必须相邻（这五大文化符号的介绍顺序中间没有其他文化符号），则该文章关于重庆十大文化符号的介绍顺序共有（）

A、1600种 B、14400种 C、2880种 D、2400种

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11、已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{20} + \frac{y^{2}}{36} = 1$ 的两个焦点为 $F_{1} ， F_{2} ， C$ 上有一点 $P$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长为（）

A、 $8 \sqrt{5}$ B、20 C、 $8 + 4 \sqrt{5}$ D、16

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12、已知点P为直线 $x - y - 3 = 0$ 上的动点，过P作圆 $O : x^{2} + y^{2} = 3$ 的两条切线，切点分别为A，B，若点M为圆 $E : {(x + 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4$ 上的动点，则点M到直线AB的距离的最大值为．

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13、已知向量 $\vec{a} = (1, - \sqrt{3}), \vec{b} = (sin x, cos x), f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ .

(1)、若 $f (θ) = 0$ ，求 $\frac{2 {cos}^{2} \frac{θ}{2} - sin θ - 1}{\sqrt{2} sin (θ + \frac{π}{4})}$ 的值；

(2)、当 $x \in (0, π)$ 时，求函数 $f (\frac{x + π}{2})$ 的值域.

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14、高铁是我国国家名片之一，高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水.如图所示，B、E、F为山脚两侧共线的三点，在山顶A处测得这三点的俯角分别为 $30^{°}$ 、 $60^{°}$ 、 $45^{°}$ ，计划沿直线BF开通穿山隧道，现已测得BC、DE、EF三段线段的长度分别为3、1、2.
（1）求出线段AE的长度；
（2）求出隧道CD的长度.

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15、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点为 $F (4, 0)$ ，离心率为2， $A_{1}, A_{2}$ 分别为 $C$ 的左，右顶点，A为双曲线上一点，且 $\vec{A A_{1}} \cdot \vec{A A_{2}} = 48$ ．

(1)、求点A的坐标；

(2)、设点 $P (x_{1}, y_{1}), Q (x_{2}, y_{2})$ 在 $C$ 上．
（ⅰ）若点A在第一象限且直线 $P Q$ 的斜率为－2，求证：直线 $A P, A Q$ 的斜率之和为定值；
（ⅱ）若 $x_{1} > x_{2} > 0, y_{1} > 0$ ，过 $F$ 的直线 $l$ 与 $C$ 的两条渐近线分别交于 $M, N$ 两点， $P Q / / M N$ ，过 $P$ 且斜率为 $- \sqrt{3}$ 的直线与过 $Q$ 且斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线交于点 $G$ ，若 $|G M| = |G N|$ ．求证： $G, M, N$ 三点共线．

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16、已知直线 $l : m x + y - m = 0$ 过定点 $A$ ，圆 $C$ 的方程为 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y - 2 = 0$ ．

(1)、求 $A$ 的坐标，并判断 $l$ 与圆 $C$ 的位置关系；

(2)、已知 $B (9, 0)$ ，圆 $C$ 上是否存在点 $M$ ，使得 ${|M A|}^{2} + {|M B|}^{2} = 40$ 成立？若存在，求点 $M$ 的个数；若不存在，请说明理由．

(3)、已知平面上的线段 $l_{1}$ 及点 $P$ ，任取 $l_{1}$ 上一点 $Q$ ，线段 $P Q$ 长度的最小值称为点 $P$ 到线段 $l_{1}$ 的距离，记作 $d (P, l_{1})$ ．若 $l_{1}$ 为线段 $A C$ ，求点集 $D = \{P |d (P, l_{1}) \leq 1\}$ 所表示的图形面积．

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17、已知曲线 $Γ$ 上的点 $M$ 到直线 $x + 2 = 0$ 的距离比到点 $F (1, 0)$ 的距离多 $1$ ．

(1)、求曲线 $Γ$ 的方程；

(2)、设点 $N (m, 2)$ 在曲线 $Γ$ 上，过点 $N$ 的直线 $l$ 与曲线 $Γ$ 相切，且与椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 相交于 $P$ 、 $Q$ 两点，求 $△ O P Q$ （其中 $O$ 为坐标原点）的面积．

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18、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E, F, G, H, K, L$ 分别是 $A B, B B_{1}, B_{1} C_{1}, C_{1} D_{1}$ ， $D_{1} D, D A$ 各棱的中点．

(1)、求证： $A_{1} C ⊥$ 平面 $E F G H K L$ ；

(2)、求平面 $C G H$ 与平面 $E F G H K L$ 夹角的余弦值．

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19、根据新高考改革方案，再选学科以等级赋分计入高考成绩．按照方案，将考生原始成绩从高到低划分为 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $E$ 五个等级，各等级人数所占比例分别为 $15 %$ 、 $35 %$ 、 $35 %$ 、 $13 %$ 、 $2 %$ ．为让学生适应新高考的赋分模式，某市在高二的调研考试中对学生的再选学科成绩进行赋分．已知该市本次高二调研考试化学学科考试满分为 $100$ 分，现从该市本次高二调研考试的化学成绩中随机选取 $100$ 名学生的原始成绩进行分析，其频率分布表如下表所示．
成绩分组
$[40, 50)$
$[50, 60)$
$[60, 70)$
$[70, 80)$
$[80, 90)$
$[90, 100]$
频数
$5$
$10$
$20$
$a$
$b$
$10$
频率
$0.05$
$0.1$
$0.2$
$c$
$0.25$
$0.1$

(1)、求出频率分布表中 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的值，并用样本估计总体的方法估计该市本次化学原始成绩 $A$ 等级中的最低分；

(2)、为充分发挥调研考试的作用，更有效地指导教师的教和学生的学，若采用按比例分层抽样的方法，从原始成绩在 $[40, 50)$ 和 $[50, 60)$ 内的学生中共抽取 $6$ 人，查看他们的答题情况来分析知识点上的缺漏，再从中随机选取 $2$ 人进行个案分析，求这 $2$ 人中至少有 $1$ 人原始成绩在 $[40, 50)$ 内的概率．

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20、已知正三棱锥 $S - A B C$ 的侧棱两两垂直， $S A = 3$ ，若空间中的动点 $P$ 到顶点 $S$ 的距离为 $2 \sqrt{3}$ ，则平面 $A B C$ 截点 $P$ 的轨迹所得曲线的周长为．

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	男学生	女学生	合计
喜欢运动	40	20	60
不喜欢运动	20	20	40
合计	60	40	100

成绩分组	$[40, 50)$	$[50, 60)$	$[60, 70)$	$[70, 80)$	$[80, 90)$	$[90, 100]$
频数	$5$	$10$	$20$	$a$	$b$	$10$
频率	$0.05$	$0.1$	$0.2$	$c$	$0.25$	$0.1$

价格x	9	9.5	10	10.5	11
销售量y	11	10	8	6	5

$a$	0.1	0.05	0.01
$x_{a}$	2.706	3.841	6.635