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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）

A、函数 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{π}{6}$ 对称 B、函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{5π}{12}, 0)$ 对称 C、函数 $y = f (x)$ 在 $[- \frac{2π}{3}, - \frac{π}{6}]$ 上单调递减 D、当 $x \in [0, \frac{π}{4}]$ 时， $f (x) \in [1, 2]$

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2、已知 $sin (x - y) = cos (x + y)$ ， $tan (x - y) = 3$ ，则 $tan x tan y =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $- \frac{3}{2}$

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3、命题 $p$ ：数列 $\{a_{n}\}$ 为等比数列，命题 $q$ ：数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} \neq 0$ ， $\forall n \in N^{*}$ ， $a_{n} a_{n + 4} = a_{n + 1} a_{n + 3}$ ，则 $q$ 是 $p$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4、双曲线 $y^{2} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$ 的离心率为 $\sqrt{5}$ ，则该双曲线的焦点到它的渐近线距离为（）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、3

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5、在 $△ A B C$ 中， $D$ 是 $A B$ 边上的中点，则 $\vec{C A} =$ （）

A、 $2 \vec{C D} - \vec{C B}$ B、 $\vec{C D} - 2 \vec{C B}$ C、 $2 \vec{C D} + \vec{C B}$ D、 $\vec{C D} + 2 \vec{C B}$

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6、已知集合 $A = \{x |y = ln (1 - 2 x)\}$ ， $B = \{y |y = 2^{x}\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- \infty, \frac{1}{2})$ B、 $(\frac{1}{2}, + \infty)$ C、 $(0, + \infty)$ D、 $(0, \frac{1}{2})$

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7、已知 $\frac{z}{i} = - 1 + 2 i$ ，则 $|z| =$ （）

A、3 B、5 C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{3}$

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8、空气中的尘埃，天上的云朵飘忽随机不定、这些动态随机现象的研究有着重要的意义.在平面直角坐标系中，粒子从原点出发，等可能向四个方向移动，即粒子每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位，如在1秒末，粒子会等可能地出现在 $(1, 0)$ ， $(- 1, 0)$ ， $(0, 1)$ ， $(0, - 1)$ 四点处.

(1)、求粒子在第2秒末移动到点 $(1, - 1)$ 的概率；

(2)、记第 $n$ 秒末粒子回到原点的概率为 $p_{n}$ .
（i）已知 $\sum_{k = 0}^{n} (C_{n}^{k})^{2} = C_{2 n}^{n}$ 求 $p_{3}, p_{4}$ 以及 $p_{2 n}$ ；
（ii）令 $b_{n} = p_{2 n}$ ，记 $S_{n}$ 为数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若对任意实数 $M > 0$ ，存在 $n \in N *$ ，使得 $S_{n} > M$ ，则称粒子是常返的.已知 $\sqrt{2 π n} {(\frac{n}{e})}^{n} < n! < {(\frac{6}{π})}^{\frac{1}{4}} \sqrt{2 π n} {(\frac{n}{e})}^{n} ，$ 证明：该粒子是常返的.

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9、已知椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，且 $a b = 2 \sqrt{3}$ .

(1)、求椭圆 $C_{1}$ 的方程；

(2)、已知B，A是椭圆 $C$ 的左、右顶点，不与 $x$ 轴平行或重合的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于M，N两点，记直线 $B M$ 的斜率为 $k_{1}$ ，直线 $A N$ 的斜率为 $k_{2}$ ，且 $k_{2} = 2 k_{1}$ ，证明：直线 $l$ 过定点；

(3)、如图，点 $P$ 为椭圆 $C_{1}$ 上不同于A，B的任一点，在抛物线 $C_{2} : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上存在两点R，Q，使得四边形 $P Q A R$ 为平行四边形，求 $p$ 的最小值.

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10、已知函数 $f (x) = a ln x + \frac{3}{2} x^{2} - (a + 3) x$ ， $a \in R$ .

(1)、若曲线 $f (x)$ 在点 $(2, f (2))$ 处的切线斜率为4，求 $a$ 的值；

(2)、当 $a > 0$ 时，讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(3)、已知 $f (x)$ 的导函数在 $x \in (1, e)$ 上存在零点，求证：当 $x \in (1, e)$ 时， $f (x) > - \frac{3 e^{2}}{2}$ .

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11、如图，已知正方形 $A B C D$ 和等腰梯形 $A E F C$ 所在的平面互相垂直， $E F ∥ A C$ ， $A B = 2 \sqrt{2}$ ， $E F = 2$ .

(1)、求证： $A E / /$ 平面 $B F D$ ；

(2)、若 $A F ⊥ C F$ ，求二面角 $B - E F - D$ 的正弦值.

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12、已知a，b，c分别为 $△ A B C$ 的三个内角A，B，C的对边，且 $a cos C + \sqrt{3} a sin C - b - c = 0$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若边 $B C$ 上的高为 $\sqrt{3}$ ，且 $△ A B C$ 的周长为6，求 $a$ .

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13、已知 $n$ 为正整数，有穷数列 $a_{k} = 3^{k} (1 \leq k \leq n)$ 中所有可能的乘积 $a_{i} a_{j} (1 \leq i \leq j \leq n)$ 的和记为 $T_{n}$ ．例如，当 $n = 3$ 时， $T_{3} = a_{1}^{2} + a_{1} a_{2} + a_{1} a_{3} + a_{2}^{2} + a_{2} a_{3} + a_{3}^{2}$ ，则数列 $\{\frac{3^{n}}{T_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和为．

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14、过原点的直线 $l$ 与圆 $C : {(x - 3)}^{2} + y^{2} = 2$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，若三角形 $A B C$ 的面积为 $1$ ，则直线 $l$ 的方程为.

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15、已知 $(1 + \frac{a}{x}) {(1 + x)}^{4}$ 的展开式中含 $x$ 项的系数为16，则 $a =$ .

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16、如图， $A B C D$ 是边长为2的正方形， $A A_{1}$ ， $B B_{1}$ ， $C C_{1}$ ， $D D_{1}$ 都垂直于底面 $A B C D$ ，且 $D D_{1} = \frac{3}{2} A A_{1} = \frac{3}{2} C C_{1} = 3 B B_{1} = 6$ ，点 $E$ 在线段 $C C_{1}$ 上，平面 $B E D_{1}$ 交线段 $A A_{1}$ 于点 $F$ ，点 $G$ 在线段 $D D_{1}$ 上，则（）

A、存在 $G$ ，使得 $A_{1} G //$ 面 $D C_{1} B$ B、若 $G$ 是 $D D_{1}$ 的中点，则 $B_{1} G ⊥ A_{1} D$ C、过四点 $A_{1}$ ， $C_{1}$ ， B，D四点的外接球体积为 $8 \sqrt{6} π$ D、截面四边形 $B E D_{1} F$ 的周长的最小值为 $4 \sqrt{13}$

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17、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $a b = a + b + 3$ ，则 $a b \geq 9$ B、 $a^{2} + \frac{4}{a^{2} + 3}$ 的最小值为1 C、若 $a + b = 9$ ，则 $\frac{36}{a} + \frac{a}{b}$ 的最小值为8 D、若 $\sqrt{a} + \sqrt{5 b} \leq k \sqrt{a + b}$ 恒成立，则 $k$ 的最小值为 $\sqrt{5}$

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18、已知函数 $f (x) = A sin (ω x - \frac{π}{3})$ （其中 $A > 0$ ， $ω > 0$ ）的最大值为 $2$ ，其图象的相邻两条对称轴之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $ω = 2$ B、函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 单位后关于原点对称 C、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{3}, 0)$ 对称 D、函数 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{3}]$ 上单调递增

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19、在棱长为 $4$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 、 $N$ 分别为 $A B$ 、 $C C_{1}$ 的中点，过直线 $M N$ 的平面 $α$ 截该正方体所得截面 $Γ$ ，则当平面 $α$ 与平面 $A B C D$ 的所成角为最小时，截面 $Γ$ 的面积为（）

A、 $8 \sqrt{5}$ B、 $3 \sqrt{30}$ C、 $12 \sqrt{3}$ D、 $\frac{14 \sqrt{11}}{3}$

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20、已知 $sin 2 α = 2 sin 2 β$ ， $cos 2 α = 4 {sin}^{2} β$ ，则 $cos (2 α + β) =$ （）

A、0 B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、1 D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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