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相关试卷

1、已知复数 $z$ 满足 $(1 - i) z = 2 i$ ，则下列关于复数 $z$ 的结论正确的是（）

A、 $|z| = \sqrt{2}$ B、 $z$ 对应的点落在第四象限 C、复数 $z$ 的共轭复数 $\bar{z} = - 1 - i$ D、复数 $z$ 是方程 $x^{2} + 2 x + 2 = 0$ 的一个根

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2、已知 $△ A B C$ 中， $A B = 3, A C = 5, B C = 7, O$ 为 $△ A B C$ 外接圆的圆心， $I$ 为 $△ A B C$ 内切圆的圆心，则 $(\vec{A O} + \vec{A I}) \cdot \vec{B C} =$ （）

A、8 B、9 C、10 D、11

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3、如图，一个正三棱柱形容器中盛有水，侧棱 $A A^{'} = 16$ ，底面边长 $A B = 4 \sqrt{3}$ ，若侧面 $A A^{'} B B^{'}$ 水平放置时，水面恰好经过 $A C, B C, A^{'} C^{'}, B^{'} C^{'}$ 的中点 $D, E, D^{'}, E^{'}$ ，现将底面 $A B C$ 水平放置，若打开上底面 $A^{'} B^{'} C^{'}$ 的盖子，从上底面 $A^{'} B^{'} C^{'}$ 放入半径为2的小铁球，当水从上底面 $A^{'} B^{'} C^{'}$ 溢出时，则需放入的小铁球个数的最小值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4、向量 $\vec{a} = (2, 2 \sqrt{3})$ 在向量 $\vec{b} = (\sqrt{3}, 1)$ 上的投影向量是（）

A、 $(- 3, \sqrt{3})$ B、 $(3, \sqrt{3})$ C、 $(3, - \sqrt{3})$ D、 $(- 3, - \sqrt{3})$

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5、如图，在下列四个正方体中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB不平行于平面MNQ的是（）

A、 B、 C、 D、

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6、盒中装有标有数字1，2，3，4的卡片各2张，从盒中任意抽取3张，每张卡片被取出的可能性都相等，求：

(1)、抽出的3张中有2张卡片上的数字是3，有多少种不同的选法？

(2)、若抽出的3张卡片上最大的数字是4，有多少种不同的选法？

(3)、抽出的3张卡片上的数字互不相同，有多少种不同的选法？

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7、某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为；已知乙同学参加的3个项目中有“整地做畦”，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为．

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8、用0、1、2、3、4、5这六个数字组成一个无重复数字的五位偶数，这样的数有个.

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9、已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} + x - 1}{e^{x}}$ ，则下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 既存在极大值又存在极小值 B、函数 $f (x)$ 存在 $2$ 个不同的零点 C、函数 $f (x)$ 的最小值是 $- 2 e$ D、若 $x \in [t, + \infty)$ 时， $f {(x)}_{\max} = \frac{5}{e^{2}}$ ，则 $t$ 的最大值为 $2$

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10、设离散型随机变量 $X$ 的分布列如下表：若离散型随机变量 $Y$ 满足 $Y = 2 X + 1$ ，则（）
$X$
0
1
2
3
4
$P$
0.1
0.2
$m$
0.2
0.1

A、 $m = 0.4$ B、 $E (Y) = 3, D (Y) = 3.4$ C、 $E (X) = 2, D (X) = 1.2$ D、 $E (Y) = 5, D (Y) = 4.8$

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11、已知二项式 ${(2 x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式中共有8项，则下列说法正确的有（）

A、所有项的二项式系数和为256 B、所有项的系数和为1 C、二项式系数最大的项为第5项 D、展开式中的有理项共4项

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12、已知函数 $f (x)$ 是定义在R上的可导函数，其导函数为 $f^{'} (x)$ ．若 $f (0) = 5$ ，且 $f (x) - f^{'} (x) > 2$ ，则使不等式 $f (x) \leq 3 e^{x} + 2$ 成立的x的值可能为( )

A、－2 B、－1 C、 $- \frac{1}{2}$ D、2

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13、广州市第八十九中学食堂有四层，二、三层供应普通饮食，一、四层供应特色饮食．已知同学甲午餐选择普通饮食概率为0.4，如果午餐选择普通饮食，那么晚餐再选择普通饮食的概率为0.3；如果午餐选择特色饮食，那么晚餐选择普通饮食的概率为0.9．同学甲晚餐选择普通饮食的概率为（）

A、0.75 B、0.66 C、0.76 D、0.38

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14、已知函数 $y = f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象如图所示，那么对于函数 $y = f (x)$ ，下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 在 $(- \infty, - 1)$ 上单调递增 B、 $f (x)$ 在 $(1, + \infty)$ 上单调递减 C、 $f (x)$ 在 $x = 2$ 处取得极大值 D、 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处取得极大值

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15、在圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 上任取一点 $P$ ，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线段 $P D, D$ 为垂足，当点 $P$ 在圆上运动时，线段 $P D$ 的中点 $Q$ 的轨迹为曲线 $E$ （当点经过圆与 $x$ 轴的交点时，规定点 $Q$ 与点 $P$ 重合）.

(1)、求曲线 $E$ 的方程；

(2)、 $A_{1}, A_{2}$ 为曲线 $E$ 与 $x$ 轴的交点，过点 $M (3, 0)$ 作直线 $l$ 交 $E$ 于 $C, D$ 两点（与 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 不重合），直线 $A_{1} C$ 与 $A_{2} D$ 交于点 $G$ .
（i）证明：点 $G$ 在定直线上；
（ii）是否存在点 $G$ 使得 $C G ⊥ D G$ ，若存在，求出直线 $l$ 的斜率；若不存在，请说明理由.

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16、已知函数 $f (x) = \ln x + a x^{2} + (2 a + 1) x$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a < 0$ 时，证明 $f (x) \leq - \frac{3}{4 a} - 2$ ；

(3)、若对任意的不等正数 $x_{1}, x_{2}$ ，总有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 2$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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17、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{3 a_{n} + 1} (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = a_{n} a_{n + 1}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；

(3)、设 $c_{n} = \frac{1}{2^{n} a_{n}}$ ，记数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $△ A B C$ 是边长为2的正三角形， $A A_{1} = 3$ ， $D$ ， $E$ 分别为 $A B$ ， $B C$ 的中点.

(1)、求证： $C D ⊥$ 平面 $A A_{1} B_{1} B$ ；

(2)、求直线 $B C$ 与平面 $A B_{1} E$ 所成角的余弦值.

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19、已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x + 2$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[- 2, 2]$ 上的最大值.

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20、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 5, a_{n + 1} = 4 a_{n} - 3$ ，若对任意的 $n \in N^{*}, k (a_{n} - 1) \geq 2 n - 5$ 恒成立，则实数 $k$ 的最小值.

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$X$	0	1	2	3	4
$P$	0.1	0.2	$m$	0.2	0.1