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相关试卷

1、已知过点 $P (1, 1)$ 的直线l与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，O为坐标原点，则 ${|O A|}^{2} + {|O B|}^{2}$ 的最小值为（）

A、12 B、8 C、6 D、4

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2、我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵.已知在堑堵 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A B C = \frac{π}{2}$ ， $A B = B C = A A_{1}$ ， $D, E, F$ 分别是所在棱的中点，则下列3个直观图中满足 $B F ⊥ D E$ 的有（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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3、已知线段 $A B$ 的端点B的坐标是 $(3, 4)$ ，端点A在圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ 上运动，则线段 $A B$ 的中点 $P$ 的轨迹方程为（）

A、 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 2$ B、 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 1$ C、 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 1$ D、 ${(x - 5)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = 2$

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4、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，二面角 $B_{1} - A C - B$ 的正切值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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5、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (- x) + f (x) = 0$ ，且当 $x \leq 0$ 时， $f (x) = \frac{a}{2^{x}} + 2$ ，则 $f (1) =$ （）

A、2 B、4 C、 $- 2$ D、 $- 4$

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6、已知 $sin α = \frac{1}{3}$ ， $α \in (0, \frac{π}{2})$ ，则 $cos (\frac{π}{2} - 2 α) =$ （）

A、 $\frac{4 \sqrt{2}}{9}$ B、 $- \frac{1}{9}$ C、 $- \frac{7}{9}$ D、 $- \frac{4 \sqrt{2}}{9}$

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7、已知复数 $z = 1 + a i$ （ $a > 0$ ），且 $|z| = 3$ ，则 $a =$ （）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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8、迪卡尔是法国伟大的数学家之一，他对现代数学的发展作出过重要的贡献，由于他的几何坐标系的公式化而被后人认为是“解析几何之父”.高一某同学在网上查阅资料时，无意间发现“迪卡尔积”是一个很有趣的问题.
设 $A$ ， $B$ 是任意两个非空集合，则称集合 $A \times B = \{(a, b) |a \in A, b \in B\}$ 为“ $A$ 与 $B$ 的迪卡尔积”，并记集合 $A \times B$ 的元素个数为 $[A \times B]$ .

(1)、若 $A = {0, 1}$ ， $B = {1, 2, 3}$ ，求 $A \times B$ 与 $B \times A$ ；

(2)、若 $[A \times B] = m^{2}$ ， $[A] \neq [B]$ ， $m$ 为素数，且 $\frac{[A \times A] + 81 \times [B \times B]}{[A \times B]} \geq a$ 对任意素数 $m$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围，并写出当 $a$ 取到最值时 $m$ 应满足的条件及一组符合条件的集合 $A$ ， $B$ .
（提示：当 $x \geq n$ ，且 $n > \frac{1}{\sqrt{a}}$ 时，式子 $\frac{1}{x} + a x (a > 0, x > 0)$ 在 $x = n$ 处取得最小值.）

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9、在“基本不等式”应用探究课中，老师提出了下列问题：已知正实数a，b满足 $2 a + b = 1$ ，求 $\frac{1}{a} + \frac{1}{2 b}$ 的最小值.
甲、乙两位同学对该问题给出了两种不同的解法，甲给出的解法是：
$1 = 2 a + b \geq 2 \sqrt{2 a b} \Rightarrow \sqrt{a b} \leq \frac{1}{2 \sqrt{2}} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{a b}} \geq 2 \sqrt{2}$ ， $∴ \frac{1}{a} + \frac{1}{2 b} \geq 2 \sqrt{\frac{1}{2 a b}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{a b}} \geq 2 \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 4$ ，
所以 $\frac{1}{a} + \frac{1}{2 b}$ 的最小值为4.
乙给出的解法是： $\frac{1}{a} + \frac{1}{2 b} = (\frac{1}{a} + \frac{1}{2 b}) (2 a + b) = 2 + \frac{b}{a} + \frac{a}{b} + \frac{1}{2} \geq 2 \sqrt{\frac{b}{a} \cdot \frac{a}{b}} + \frac{5}{2} = \frac{9}{2}$ ，
所以 $\frac{1}{a} + \frac{1}{2 b}$ 的最小值为 $\frac{9}{2}$ .

(1)、请你判断哪位同学的解法正确，并指出解法错误的原因；

(2)、结合上面的材料，求解下面的问题：
①已知正实数a，b满足 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} = 1$ ，求 $2 a + b$ 的最小值，并求出取得最小值时a，b的值；
②已知 $0 < x < \frac{2}{3}$ ，试求 $\frac{1}{x} + \frac{1}{2 - 3 x}$ 的最小值，并求出取得最小值时 $x$ 的值.

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10、如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为 $200 m^{2}$ 的十字形地域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4200元/ $m^{2}$ ；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/ $m^{2}$ ；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/ $m^{2}$ .设总造价为S（单位：元），AD长为x（单位：m）.当x 为何值时，S最小？并求出这个最小值.

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11、已知集合 $A = \{x |x \leq 1 - a$ 或 $x > 1 + a\}$ ， $B = {x | x < - 1$ 或 $x \geq 2\}$ .

(1)、当 $a = - 1$ 时，求 $A \cup B$ ；

(2)、若“ $x \in B$ ”是“ $x \in A$ ”的必要不充分条件，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、若“ $x \in B$ ”是“ $x \in A$ ”的充分不充分条件，求实数 $a$ 的取值范围.

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12、根据下述事实，写出一个含有量词的命题是.
$1^{3} = 1^{2}$ ，
$1^{3} + 2^{3} = {(1 + 2)}^{2}$ ，
$1^{3} + 2^{3} + 3^{3} = {(1 + 2 + 3)}^{2}$ ，
$1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + 4^{3} = {(1 + 2 + 3 + 4)}^{2}$
……

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13、设集合 $A = \{x |x^{2} - 3 x - 4 = 0\}$ ， $B = \{x |x^{2} = 1\}$ ，则 $A \cup B =$ .

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14、关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + 2 x + a = 0$ 恰有一个实数根的充分不必要条件可以是（）

A、 $a < 2$ B、 $a = 1$ 或 $a = - 1$ C、 $a = 0$ 或 $a = \pm 1$ D、 $a = 0$

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15、下列命题为真命题的是（）

A、若 $a > b > 0$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ B、若 $a > b > 0$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ C、若 $a < b < 0$ ，则 $a^{2} > a b > b^{2}$ D、若 $a < b < 0$ ，则 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$

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16、已知集合 $A = \{x \in N | 1 \leq x \leq 2\}$ ，则下列结论成立的是（）

A、 $0 \notin A$ B、 $2 \in A$ C、 $\{x | 1 < x < 2\} \subseteq A$ D、 $\{2\} \subseteq A$

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17、一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．顾客实际购买的黄金（）

A、大于10g； B、小于10g； C、等于10g； D、不能判断大小．

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18、若 $x > 0$ ，则 $f (x) = 2 - x - \frac{4}{x}$ （）

A、最大值为 $- 2$ B、最小值为 $- 2$ C、最大值为6 D、最小值为6

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19、已知集合 $A = \{x |1 < x \leq a\}$ ， $B = \{x |1 < x \leq 2\}$ ，若 $A \cap B = B$ ，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $a > 2$ B、 $a \geq 2$ C、 $a < 2$ D、 $a \leq 2$

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20、下列命题为真命题的是（）

A、“ $a > b$ ”是“ $a^{2} > b^{2}$ ”的充分不必要条件 B、“ $A \cup B = A$ ”是“ $B \subseteq A$ ”的必要不充分条件 C、“ $a = 1$ ”是“ $a^{2} = 1$ ”的充要条件 D、“ $x > 1$ ”是“ $x < 2$ ”的既不充分也不必要条件

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