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相关试卷

1、某地自2014年至2019年每年年初统计所得的人口数量如下表所示：
年份
2014
2015
2016
2017
2018
2019
人数/千人
2082
2135
2203
2276
2339
2385
(1)根据表中的数据计算2014年至2018年每年该地人口的增长数量，并描述该地人口数量的变化趋势；
(2)研究人员用函数 $P (t) = 2000 + \frac{450}{4.4878 e^{- 0.6554 t} + 1}$ 拟合该地的人口数量，其中 $t$ 的单位是年，2014年初对应时刻 $t = 0 ， P (t)$ 的单位是千人，设 $P (t)$ 的反函数为 $T (x) ，$ 求 $T (2400)$ 的值(精确到0.1)，并解释其实际意义.

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2、请解答以下问题，要求解决两个问题的方法不同.
（1）如图1，要在一个半径为1米的半圆形铁板中截取一块面积最大的矩形 $A B C D$ ，如何截取？并求出这个最大矩形的面积.
（2）如图2，要在一个长半轴为2米，短半轴为1米的半个椭圆铁板中截取一块面积最大的矩形 $A B C D$ ，如何截取？并求出这个最大矩形的面积.

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3、已知函数 $f (x) = 2 \sin x (\sqrt{3} \cos x - \sin x) + 1$ ， $x \in R$ ．
（1）求曲线 $y = f (x)$ 的对称中心；
（2）在锐角三角形 $A B C$ 中， $a$ ， $b$ ， $c$ 分别是内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，且 $f (\frac{A}{2}) = 2$ ．若 $b + c \leq k a$ 恒成立，求实数 $k$ 的最小值．

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4、如图为函数 $f (x) = 2 \cos (ω x + φ)$ $(ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象，且 $|C D| = \frac{π}{4}$ ， $A (- \frac{5 π}{12}, - 2)$ ．

(1)、求 $ω$ ， $φ$ 的值；

(2)、将 $f (x)$ 的图象上所有点的横坐标扩大到原来的3倍（纵坐标不变），再向右平移 $\frac{3 π}{4}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，讨论函数 $y = g (x) - a$ 在区间 $[- π, \frac{π}{2}]$ 的零点个数．

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5、角 $θ$ 的终边经过点 $P (4, y)$ ，且 $s i n θ = - \frac{3}{5}$ ，则 $t a n θ =$ ．

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6、已知 $\sin α - \sqrt{2} \cos α = \sqrt{3}$ ，则 $\tan α$ 的值是．

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7、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足：对 $\forall α, β \in R, f (α + β) + f (α - β) = 2 f (α) f (β)$ ，且 $f (0) = 1, f (\frac{π}{2}) = - 1$ ，则以下结论正确的为（）

A、 $f (\frac{π}{4}) = 0$ B、 $f (π) = 0$ C、 $f (- x) = f (x)$ D、 $f (x + π) = f (x)$

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8、已知锐角 $φ$ 满足 $\sqrt{3} \sin φ - \cos φ = 1$ ．若要得到函数 $f (x) = \frac{1}{2} - \sin^{2} (x + φ)$ 的图象，则可以将函数 $y = \frac{1}{2} \sin 2 x$ 的图象（）．

A、向左平移 $\frac{7 π}{12}$ 个单位长度 B、向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度 C、向右平移 $\frac{7 π}{12}$ 个单位长度 D、向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度

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9、已知集合 $A = \{- 1, 1, 2, 3, 4, 5\}$ ， $B = \{x \in N |(x - 1) (x - 5) < 0\}$ ，则 $∁_{A} B =$ （）

A、 $\{3\}$ B、 $\{2, 3\}$ C、 $\{2, 3, 5\}$ D、 $\{- 1, 1, 5\}$

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10、下列函数是奇函数且在区间 $(0, 1)$ 上是增函数的是（　　）

A、 $y = \sin x$ B、 $y = 3^{- x}$ C、 $y = x^{2}$ D、 $y = \frac{1}{x}$

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11、已知角 $θ$ 的顶点在坐标原点，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边经过点 $P (t,− \sqrt{t}) (t >0)$ ，则（）

A、 $cos2 θ >0$ B、 $cos2 θ <0$ C、 $sin2 θ >0$ D、 $sin2 θ <0$

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12、已知函数 $f (x) = a \sin x + b \cos x$ ，其中 $a \in R$ ， $b \in R$ ，如果对任意 $x \in R$ ，都有 $f (x) \neq 2$ ，那么在下列不等式中一定成立的是（）

A、 $- 4 < a + b < 4$ B、 $- 4 < a - b < 4$ C、 $a^{2} + b^{2} < 2$ D、 $a^{2} + b^{2} < 4$

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13、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $(2, \frac{5}{3})$ ，且离心率为 $\frac{2}{3}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、圆 $F$ 的圆心为椭圆 $C$ 的右焦点，半径为 $r$ ，过点 $F$ 的直线与椭圆 $C$ 及圆 $F$ 交于 $A, P, Q, B$ 四点（如图所示），若存在 $| P Q |^{2} = | A P | | B Q |$ ，求圆 $F$ 的半径 $r$ 取值范围．

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14、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $a_{1} = 1, S_{5} = 3 a_{5}$ ．

(1)、求 $S_{100}$ 的值；

(2)、设 $b_{n} = a_{n} \cdot q^{n} (0 < q < 1)$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求证： $T_{n} < \frac{q}{{(1 - q)}^{2}}$ ．

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15、已知双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的焦距为 $2 \sqrt{5}$ ，渐近线方程为： $x \pm 2 y = 0$ ，双曲线左，右两个顶点分别为 $A, B$ ．

(1)、求双曲线 $E$ 的标准方程；

(2)、过点 $(0, 1)$ 的直线 $l$ 与双曲线 $E$ 交于 $C, D$ 两点．设 $A C, B D$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，若 $\frac{k_{1}}{k_{2}} = - \frac{1}{3}$ ，求 $l$ 的方程．

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16、如图，已知 $△ A B C$ 中， $A C = B C = \sqrt{3}, A B = 3$ ， $D$ 是 $A B$ 上一点，且 $A D = C D$ ，将 $△ A D C$ 沿 $C D$ 翻折至 $△ P D C$ ， $|P B| = \sqrt{6}$ ．

(1)、求证： $B C ⊥ P D$ ；

(2)、求直线 $B C$ 与平面 $P B D$ 所成角的正弦值．

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17、在数列 $\{a_{n}\}$ 中，已知 $a_{n + 1} + a_{n} = 3 \cdot 2^{n}$ ， $a_{1} = 1$ ．

(1)、求证： $\{a_{n} - 2^{n}\}$ 是等比数列．

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ ．

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18、如图所示，在棱长均相等的平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中 $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D, E, F$ 分别为线段 $D D_{1}, B C$ 的中点．

(1)、设 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A D} = \vec{b}, \vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，请以向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 表示 $\vec{E F}$ ；

(2)、求证：平面 $A_{1} B D ⊥$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ．

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19、已知正项数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $2 S_{n} = a_{n}^{2} + a_{n} - 2$ ，则 $\frac{S_{n} + 7}{a_{n} - 1}$ 的最小值为．

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20、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 的直线分别交双曲线的左，右两支于 $P, Q$ 两点，若 $△ P Q F_{2}$ 为正三角形，则双曲线 $C$ 的离心率为．

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年份	2014	2015	2016	2017	2018	2019
人数/千人	2082	2135	2203	2276	2339	2385