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相关试卷

1、函数 $f (x) = \cos (ω x + φ) (ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图像如图所示.
（1）求 $f (x)$ 的解析式；
（2）若 $\forall x \in [- \frac{π}{4}, \frac{π}{4}]$ ， ${[f (x)]}^{2} - m f (x) - 1 \leq 0$ ，求 $m$ 的取值范围；
（3）求实数 $a$ 和正整数 $n$ ，使得函数 $F (x) = f (x) - a$ 在 $[0, n π]$ 上恰有2021个零点.

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2、如图，有一块边长为3m的正方形铁皮 $A B C D$ ，其中阴影部分 $A T N$ 是一个半径为2m的扇形，设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好，工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在 $B C$ 与 $C D$ 上的矩形铁皮 $P Q C R$ ，使点 $P$ 在弧 $T N$ 上．设 $∠ T A P = θ$ ，矩形 $P Q C R$ 的面积为 $S m^{2}$ ．

(1)、求 $S$ 关于 $θ$ 的函数表达式；

(2)、求 $S$ 的最大值及 $S$ 取得最大值时 $θ$ 的值．

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3、已知 $α, β \in (\frac{π}{6}, \frac{2 π}{3})$ ，且 $\cos (α - \frac{π}{6}) = \frac{3 \sqrt{10}}{10}$ ， $\sin (β + \frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ．
（1）求 $\sin 2 α$ 的值；
（2）求 $α - β$ 的值．

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4、已知函数 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{6}) + \sin (2 x - \frac{π}{6}) + 2 \cos^{2} x$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小值及最小正周期；

(2)、求使 $f (x) \geq 2$ 的x的取值范围．

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5、已知 $cos (\frac{3 π}{2} + 2 α) + 4 {sin}^{2} (\frac{π}{4} - α - β) = {(sin β - cos β)}^{2} + 1$ ，其中 $α + β \neq k π (k \in Z)$ ，且 $tan α + 3 tan β = 4 \sqrt{2} - 2 tan (α + β)$ ，则 $tan 2 α =$ .

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6、设当 $x = θ$ 时，函数 $f (x) = sin x - 3 cos x$ 取得最大值，则 $cos (θ - \frac{π}{4}) =$ ．

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7、已知函数 $f (x) = |a - 2 \sin x| - |\sin x|$ ， $a \in R$ ，且 $a \neq 0$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称 C、 $\forall x_{1}, x_{2} \in R$ ， $|f (x_{1}) - f (x_{2})| \leq 5$ D、 $\exists a \in (1, 3)$ ， $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上有两个不同的零点

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8、对于函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{6})$ ， $(ω > 0)$ ，下列结论正确的有（）

A、当 $ω = 1$ 时， $f (x)$ 的图象可由 $g (x) = \cos x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度得到 B、当 $ω = 2$ 时， $f (x)$ 的图像关于点 $(\frac{5}{12} π, 0)$ 中心对称 C、当 $ω = 2$ 时， $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{π}{2})$ 上是单调函数 D、若 $f (x) \leq f (\frac{π}{6})$ 恒成立，则 $ω$ 的最小值为2

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9、设函数 $f (x) = cos (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ 且 $|φ| < \frac{π}{2}$ ）满足以下条件：① $\forall x \in R$ ，满足 $f (x) \geq f (\frac{7 π}{12})$ ；② $\exists x_{0}$ ，使得 $f (\frac{π}{3}) = f (x_{0}) = 0$ ；且 ${|x_{0} - \frac{π}{3}|}_{min} > \frac{π}{6}$ ，则关于x的不等式 $[f (x) - f (- \frac{31 π}{4})] [f (x) - f (\frac{31 π}{3})] > 0$ 的最小正整数解为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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10、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin ω x - \cos ω x$ ，若关于x的方程 $f (x) - 1 = 0$ 在区间 $(0, 2 π]$ 上有且只有四个不相等的实数根，则正数 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{3}{2}, \frac{7}{2})$ B、 $(\frac{3}{2}, \frac{25}{6}]$ C、 $(\frac{3}{2}, \frac{13}{6}]$ D、 $[\frac{3}{2}, \frac{13}{6})$

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11、已知 $θ \in (\frac{π}{4}, \frac{3π}{4})$ ， $cos (θ - \frac{π}{4}) = \frac{3}{5}$ ，则 $tan θ =$ （）

A、-7 B、 $- \frac{1}{7}$ C、7 D、 $\frac{1}{7}$

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12、已知 $a = \sin 2$ ， $b = \cos 2$ ， $c = \tan 2$ ， $d = 1$ ，则（）

A、 $a < b < c < d$ B、 $a < b < d < c$ C、 $c < b < a < d$ D、 $b < a < d < c$

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13、将函数 $f (x) = sin (2 x + φ) (0 < φ < π)$ 的图象上所有点向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位后得到的图象关于原点对称，则 $φ =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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14、在 $△ A B C$ 中， $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{C B} = \vec{b}$ ，则 $\vec{C A}$ 等于（）

A、 $\vec{a} + \vec{b}$ B、 $\vec{a} - \vec{b}$ C、 $- \vec{a} - \vec{b}$ D、 $\vec{b} - \vec{a}$

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15、 $sin 40 ° cos 20 ° + cos 40 ° cos 70 ° =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、1

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16、已知函数 $f (x) = sin (2 ω x - \frac{π}{6})$ 的最小正周期为 $\frac{π}{5}$ ，其中 $ω > 0$ ，则 $ω =$ （）

A、4 B、5 C、8 D、10

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17、如图，在平行四边形ABCD中， $O$ 为对角线的交点，则 $\vec{A O} + \vec{O B} + \vec{A D} =$ （）

A、 $\vec{A C}$ B、 $\vec{A D}$ C、 $\vec{B D}$ D、 $\vec{0}$

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18、已知函数 $f (x) = - e^{2 x} + 6 e^{x} - a x - 2$ ．

(1)、当 $a = 4$ 时，求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1}, x_{2}$ ．
（ⅰ）求 $a$ 的取值范围；
（ⅱ）证明： $f (x_{1}) + f (x_{2}) + x_{1} + x_{2} < \frac{22}{3}$ ．

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19、已知函数 $f (x) = a \ln x + \frac{1}{4} x + \frac{3 a^{2}}{x} (a \neq 0)$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、设 $g (x) = 2 x^{2} - m e^{x} + \frac{e^{2}}{12} + \frac{1}{4}$ ，当 $a = - \frac{e}{6}$ 时，对任意的 $x_{1} \in [1, 4]$ ，总存在 $x_{2} \in [1, e]$ ，使 $g (x_{1}) \leq f (x_{2})$ ，求实数m的取值范围．

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20、已知等比数列 ${a_{n}}$ 的公比 $q > 1$ ， $a_{1} + a_{2} + a_{3} = 14$ ， $a_{2} + 1$ 是 $a_{1}$ ， $a_{3}$ 的等差中项.等差数列 ${b_{n}}$ 满足 $2 b_{1} = a_{2}$ ， $b_{4} = a_{3}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、 $c_{n} = \frac{b_{n}}{a_{n}} (n \in N^{*})$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前n项和.

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