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相关试卷

1、 ${(x^{2} - x + y)}^{5}$ 的展开式中 $x^{3} y^{3}$ 的系数为（）

A、30 B、 $- 30$ C、20 D、 $- 20$

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2、已知a为实数，则“ $a + \frac{1}{a} \geq 2$ ”是“ $0 < a \leq 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3、在平行四边形 $A B C D$ 中， $\vec{A P} = 2 \vec{P B}$ ，则 $\vec{P D} =$ （）

A、 $\frac{2}{3} \vec{A B} + \vec{A D}$ B、 $- \frac{2}{3} \vec{A B} + \vec{A D}$ C、 $\frac{1}{3} \vec{A B} + \vec{A D}$ D、 $- \frac{1}{3} \vec{A B} + \vec{A D}$

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4、已知复数 $z = 1 + 2 i$ ，则复数 $z^{2} - 8 i$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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5、设集合 $P = \{x |{log}_{2} x < 2\}$ ， $Q = \{x |x^{2} - 2 x - 3 < 0\}$ ，那么 $P \cap Q =$ （）

A、 $\{x |- 1 < x < 3\}$ B、 $\{x |0 < x < 3\}$ C、 $\{x |- 3 < x < 1\}$ D、 $\{x |0 < x < 1\}$

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6、如图，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A D = 2$ ， $B C = C D = \sqrt{2}$ ， $∠ D C B = 90 °$ ， $∠ D A B = 45 °$ ， E，F分别为AD，AB的中点.

(1)、求证： $A D ⊥ B D$ ；

(2)、求证：平面 $B D C_{1} //$ 平面 $E F D_{1}$ ；

(3)、若 $C C_{1} = 2$ ， P是线段 $D_{1} F$ 上的动点，求直线 $A_{1} P$ 与平面 $B D C_{1}$ 所成角的正弦值的最大值.

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7、如图，圆E的圆心为 $E (- \sqrt{3} ， 0)$ ，半径为4， $F (\sqrt{3} ， 0)$ 是圆E内一个定点，M是圆E上任意一点.线段FM的垂直平分线L和半径EM相交于点N，当点M在圆上运动时，记动点N的轨迹为曲线 $C .$

(1)、求曲线C的方程；

(2)、设曲线C与x轴从左到右的交点为点A，B，点P为曲线C上异于A，B的动点，设PB交直线 $x = 4$ 于点T，连结AT交曲线C于点 $Q .$ 直线AP、AQ的斜率分别为 $k_{A P}$ 、 $k_{A Q} .$
（i）求证： $k_{A P} \cdot k_{A Q}$ 为定值；
（ii）证明直线PQ经过x轴上的定点，并求出该定点的坐标.

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8、如图所示的圆台 $O_{1} O_{2}$ ，在轴截面 $A B C D$ 中， $A B = B C = A D = \frac{1}{2} C D, C D = 4$ ，则（）

A、该圆台的高为1 B、该圆台轴截面面积为 $3 \sqrt{3}$ C、该圆台的体积为 $\frac{7 \sqrt{3} π}{3}$ D、一只小虫从点 $C$ 沿着该圆台的侧面爬行到 $A D$ 的中点，所经过的最短路程为5

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9、设函数 $f (x)$ 的定义域为 $D$ ，若存在 $x \in D$ ，使得 $f (x) = - x$ 成立，则称 $x$ 为 $f (x)$ 的一个“准不动点”.已知函数 $f (x) = {log}_{\frac{1}{2}} (4^{x} - a \cdot 2^{x + 1} + 2) .$

(1)、若 $a = 1$ ，求 $f (x)$ 的“准不动点”：

(2)、若 $x_{0}$ 为 $f (x)$ 的一个“准不动点”，且 $x_{0} \in [1, 2]$ ，求实数 $a$ 的取值范围：

(3)、设函数 $g (x) = 2^{x},$ 若 $\forall x_{1} \in [0, 1], \exists x_{2} \in [0, 1]$ 使得 $|f (x_{1}) + g (x_{2})| \leq 1$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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10、记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $\cos A = \frac{b - c}{2 c}$ ．

(1)、证明： $A = 2 C$ ；

(2)、若 $a = 2$ ，且 $△ A B C$ 为锐角三角形，求 $△ A B C$ 的周长的取值范围．

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11、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ 已知向量 $\vec{m} = (b, \cos (B - \frac{π}{6}))$ ， $\vec{n} = (- \sin A, a)$ ，且 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ .

(1)、求角 $B$ ；

(2)、若 $D$ 为 $A C$ 的中点， $B D = \sqrt{7}$ ， $A C = 2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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12、已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 是同一平面内的三个向量，其中 $\vec{a} = (1, \sqrt{3})$ .

(1)、若 $|\vec{c}| = 1$ ，且 $\vec{c} // \vec{a}$ ，求 $\vec{c}$ 坐标；

(2)、若 $\vec{b}$ 为单位向量，且 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ (2 \vec{a} - 5 \vec{b})$ ，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角.

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13、若函数 $y = \cos 2 x + \sqrt{3} \sin 2 x + a 在 [0 ， \frac{π}{2}]$ 上有两个不同的零点，则实数a的取值范围为．

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14、 $△ A B C$ 的内角A，B、C的对边分别为a，b，c，若 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 2, a = 2$ ，则（）

A、 $b c \cos A = 2 a$ B、 $b^{2} + c^{2} = 8$ C、角A的最大值为 $\frac{π}{3}$ D、 $△ A B C$ 面积的最大值为 $\sqrt{3}$

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15、如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D, E$ 分别在 $A B, A C$ 边上，且 $\vec{B D} = \vec{D A}, \vec{A E} = 3 \vec{E C}$ ，点 $F$ 为 $D E$ 中点，则 $\vec{B F} =$ （）

A、 $- \frac{1}{8} \vec{B A} + \frac{3}{8} \vec{B C}$ B、 $\frac{3}{4} \vec{B A} + \frac{1}{2} \vec{B C}$ C、 $\frac{3}{8} \vec{B A} + \frac{3}{8} \vec{B C}$ D、 $\frac{3}{8} \vec{B A} + \frac{3}{4} \vec{B C}$

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16、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $|φ| < \frac{π}{2}$ ）在一个周期内的图象如图所示，则 $φ$ 的值为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $- \frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $- \frac{π}{6}$

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17、若 $a = e^{0.1}, b = e^{0.2}, c = ln 0.3$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > a > c$ D、 $b > c > a$

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18、某人在A处向正东方向走 $x k m$ 后到达B处，他沿南偏西 $60^{\circ}$ 方向走 $3 k m$ 到达C处，结果他离出发点恰好 $\sqrt{3}$ $k m$ ，那么 $x$ 的值为（）

A、 $\sqrt{3}$ 或 $3 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ 或 $2 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ 或 $3 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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19、已知角 $α$ 的终边经过点 $M (- 1, \sqrt{2})$ ，则 $cos α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$

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20、若 $M$ 是抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 位于第一象限的点， $F$ 是抛物线的焦点， $|M F| = \frac{5}{2} p$ ，则直线 $M F$ 的斜率为（）

A、 $\frac{5}{4}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{5}{2}$

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