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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \frac{a^{x} - a^{- x}}{2}$ ， $g (x) = \frac{a^{x} + a^{- x}}{2}$ ，其中 $a > 1$ .

(1)、判断 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的奇偶性；

(2)、证明： $f (x + y) + f (x - y) = 2 f (x) g (y)$ ；

(3)、若对任意 $x_{1} \in [0, 1]$ ，存在 $x_{2} \in [0, 1]$ ，恒有 $5 f (x_{1}) g (x_{2}) \geq f (2 x_{1} + 2 x_{2}) + f (2 x_{1} - 2 x_{2})$ 成立，求a的取值范围.

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2、已知函数 $f (x) = \sin \frac{x}{4} \cos \frac{x}{4} + \sqrt{3} \cos^{2} \frac{x}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期和单调递增区间；

(2)、若 $g (x) = f (x) - m$ 在 $[0, π]$ 上有两个零点，求m的取值范围.

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3、声强级 $L_{I}$ （单位：dB）由公式 $L_{I} = k \lg I + b$ 给出，其中I为声强（单位： $W / m^{2}$ ），k，b为常数.研究发现正常人听觉能忍受的最高声强为 $1 W / m^{2}$ ，此时声强级为120dB；平时常人交谈时的声强约为 $10^{- 6} W / m^{2}$ ，此时声强级为60dB.

(1)、求k，b的值；

(2)、实验结果表明，噪声可以降低人的视力敏感性，当噪声声强级达到90dB至115dB时，视网膜中的视杆细胞对光亮度的敏感性会下降，识别弱光反应的时间也会延长.某种型号的拖拉机声的声强约为 $10^{- 2} W / m^{2}$ ，若司机长时间在这种噪音环境下驾驶，试判断是否会降低他的视力敏感性？

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4、已知函数 $f (x) = \frac{x}{x^{2} - 1}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的定义域；

(2)、证明： $f (x)$ 在 $(1, + \infty)$ 上单调递减.

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5、已知函数 $f (x) = sin (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的图像关于点 $(\frac{π}{3}, 0)$ 对称，且在 $(\frac{π}{4}, \frac{π}{2})$ 上有且只有两条对称轴，则 $ω =$ .

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6、命题“ $\forall x > 1$ ， $x^{2} - 1 \geq 0$ ”的否定是.

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7、 $4^{- \frac{1}{2}} + \log_{4} 8 =$ .

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8、已知 $f (x) = \log_{2} (\cos 2 x + 2 |\sin x|)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期是 $π$ B、 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{6}, \frac{π}{2})$ 上单调递减 C、直线 $x = \frac{π}{2}$ 是 $f (x)$ 图象的一条对称轴 D、 $f (x)$ 在 $[0, 2 π]$ 上的所有零点和为 $3 π$

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9、设函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \frac{1}{x} - 1, 0 < x \leq 1 \\ 1 - \frac{1}{x}, x > 1 \end{array}$ .若 $x_{1} < x_{2}$ ，且 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，则（）

A、 $0 < x_{1} < \frac{1}{2}$ B、 $2 x_{1} x_{2} = x_{1} + x_{2}$ C、 $x_{1} x_{2} > 1$ D、 $x_{1} + x_{2} > 2$

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10、下列函数中，为奇函数且在 $(0, 1)$ 上单调递增的是（）

A、 $y = \cos x$ B、 $y = x^{3}$ C、 $y = \tan x$ D、 $y = e^{x}$

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11、若关于x的不等式 $(m - 1) \sin^{2} x - m \sin x + m - 1 > 0$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上恒成立，则m的取值范围是（）

A、 $(1, + \infty)$ B、 $(2, + \infty)$ C、 $(2, 4]$ D、 $[3, 4]$

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12、已知 $a = \frac{4}{3}$ ， $b = \sin 2$ ， $c = \log_{3} 4$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $c > a > b$ D、 $a > c > b$

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13、已知函数 $f (x) = 2^{x^{2} - 2 x + 1}$ ，则 $f (x)$ （）

A、在 $(- \infty, 1]$ 上单调递增且值域为 $[1, + \infty)$ B、在 $(- \infty, 1]$ 上单调递减且值域为 $[1, + \infty)$ C、在 $(- \infty, 1]$ 上单调递增且值域为 $(0, 1]$ D、在 $(- \infty, 1]$ 上单调递减且值域为 $(0, 1]$

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14、已知 $\tan α = 2$ ，则 $\sin (2 α - \frac{π}{2}) =$ （）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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15、函数 $f (x) = x \ln |x|$ 的图象大致形状是（）

A、 B、 C、 D、

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16、若扇形的面积为1cm² ，周长为4cm，则扇形圆心角的弧度数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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17、已知集合 $A = \{x |- 1 < x < 1\}$ ，则 $∁_{R} A =$ （）

A、 $\{x |x \leq - 1\}$ B、 $\{x |x \geq 1\}$ C、 ${x x \leq - 1$ 或 $x \geq 1}$ D、 ${x x < - 1$ 或 $x > 1}$

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18、长度为6的线段 $P Q$ ，设线段中点为G，线段 $P Q$ 的两个端点P和Q分别在x轴和y轴上滑动.

(1)、求点G的轨迹方程；

(2)、设点G的轨迹与x轴交点分别为A，B（A点在左），与y轴交点分别为C，D（C点在上），设H为第一象限内点G的轨迹上的动点，直线 $H B$ 与直线 $A D$ 交于点M，直线 $C H$ 与直线 $y = - 3$ 交于点N.试判断直线 $M N$ 与 $B D$ 的位置关系，并证明你的结论.

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19、已知圆心为 $C$ 的圆经过点 $A (1, - 1)$ 和 $B (4, 2)$ ，且圆心 $C$ 在直线 $x - y + 1 = 0$ 上．

(1)、求圆 $C$ 的标准方程及过点 $M (- 2, 1)$ 的切线方程；

(2)、直线 $\sqrt{3} x + y + a - \sqrt{3} = 0$ 与圆 $C$ 相交于 $M, N$ 两点，且 $∠ M C N = 120 °$ ，求实数 $a$ 的值．

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20、已知空间内三点 $A (0, 2, 3)$ ， $B (- 2, 1, 6)$ ， $C (1, - 1, 5)$ ．

(1)、求以向量 $\vec{A B}$ ， $\vec{A C}$ 为一组邻边的平行四边形的面积 $S$ ；

(2)、若向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{A B}$ ， $\vec{A C}$ 都垂直，且 $|\vec{a}| = \sqrt{3}$ ，求向量 $\vec{a}$ 的坐标．

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