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相关试卷

1、某无人机爱好者在 $2025$ 年春节，设计了利用红、橙、黄、绿、紫五种颜色的无人机群呈现如图的方形阵，方形阵分为 $A, B, C, D, E, F$ 六个区域，呈现要求是：同一区域为相同颜色的无人机群，且相邻区域的无人机群颜色不能相同， $B$ 区域必须是红色无人机群，则不同的呈现方式共有种.

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2、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，△ABC是正三角形，D为AC的中点，点E在棱 $C C_{1}$ 上，且 $C E = 2 E C_{1}$ ，若 $A B = 2$ ， $A A_{1} = 3$ ，则点 $A_{1}$ 到平面BDE的距离为.

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3、已知函数 $f (x) = \ln x - \frac{2}{x} - x$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, - 3)$ 处的切线方程为.

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4、若函数 $f (x)$ 满足：对任意 $x, y \in R$ ，恒有 $f (x + y) + f (x - y) = 2 f (x) f (y)$ ，则称函数 $f (x)$ 为“类余弦型”函数.已知函数 $f (x)$ 为“类余弦型”，若 $f (x) > 0$ ，且对任意非零实数 $x$ ， $f (x) > 1$ .则下列结论正确的是（）

A、 $f (0) = 1$ B、若 $f (2) = \frac{17}{8}$ ，则 $f (1) = \frac{5}{2}$ C、函数 $f (x)$ 为偶函数 D、若有理数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 满足 $|x_{2}| > |x_{1}|$ ，则 $f (x_{2}) > f (x_{1})$

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5、已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的左、右焦点分别为 $F_{1} (- c, 0)$ ， $F_{2} (c, 0)$ ， $|F_{1} F_{2}| = 2$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ，直线l过点 $F_{2}$ 与椭圆C交于M，N两点，若x轴上存在一定点P，使得 $△ P M N$ 的内切圆圆心在x轴上.则下列结论正确的有（）

A、椭圆C的方程为 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ B、 $△ M N F_{1}$ 的周长为4 C、定点P的坐标为 $P (4, 0)$ D、当 $M N ⊥ x$ 轴时， $△ P M N$ 的内切圆圆心坐标为 $(\frac{1 + 3 \sqrt{5}}{4}, 0)$

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6、将函数 $y = \sin 2 x$ 的图象沿x轴向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到函数 $y = f (x)$ 的图象，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x) = \sin (2 x - \frac{π}{3})$ B、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ C、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{5 π}{12}, 0)$ 中心对称 D、函数 $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{5 π}{12})$ 内单调递增

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7、已知 $y = f (x)$ 是定义在 $(1, + \infty)$ 上连续可导函数，其导函数为 $y = f^{'} (x)$ ，若 $x f^{'} (x) < f (x)$ ，且 $f (3) = 6$ ，则不等式 $f (\ln x) > 2 \ln x$ 的解集为（）

A、 $(1, 3)$ B、 $(3, e^{2})$ C、 $(1, e^{3})$ D、 $(e, e^{3})$

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8、若P是△ABC所在平面内一点，则“ $|\vec{P A} - \vec{P B}| = |\vec{P A} + \vec{P B} - 2 \vec{P C}|$ ”是“△ABC为直角三角形”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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9、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左、右焦点，A为双曲线C上的一点，且 $A F_{1} ⊥ F_{1} F_{2}$ ， $|A F_{1}| = 3$ ， $|F_{1} F_{2}| = 3 \sqrt{3}$ ，则双曲线C的离心率为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、3

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10、已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，底面半径为2，该圆锥PO侧面展开图的圆心角为 $\frac{4 \sqrt{13}}{13} π$ ，则圆锥PO的体积为（）

A、 $\frac{4 \sqrt{13}}{3} π$ B、 $4 π$ C、 $4 \sqrt{13} π$ D、 $12 π$

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11、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $\sqrt{3} b \sin C = 2 c \cos^{2} \frac{B}{2}$ .则角 $B$ 的大小为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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12、已知事件 $A$ ， $B$ 是相互独立事件，且 $P (A) = \frac{2}{3}$ ， $P (B) = \frac{3}{4}$ ，则 $P (\bar{A} \bar{B}) =$ （）

A、 $\frac{1}{12}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{5}{12}$ D、 $\frac{11}{12}$

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13、设复数z满足 $z (1 + i^{2025}) = - 2 + i$ （ $i$ 是虚数单位），则复数z的虚部为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{3}{2} i$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2} i$

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14、已知集合 $A = \{0, 1, 2\}$ ， $B = \{x \in N |x^{2} - 3 x < 0\}$ ， $C = \{1, 2\}$ ，则（）

A、 $A = B$ B、 $A \subseteq B$ C、 $A \cap B = C$ D、 $A \cup B = C$

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15、直线 $x + m y - 1 = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y = 0$ 的位置关系是（）

A、相切 B、相交 C、相离 D、不确定

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16、到了毕业季，某科技创新兴趣小组内的5名同学要站在一排进行拍照留念，则下列说法正确的是（）

A、所有不同的排法种数为120种 B、如果甲同学和乙同学必须相邻，则所有不同的排法种数为48种 C、如果甲同学不站在第一个位置，也不在最后一个位置，则所有不同的排法种数为48种 D、如果甲和丙不能相邻，则所有不同的排法种数为72种

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17、如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $△ A B C$ 为等腰直角三角形， $△ A C D$ 为正三角形， $∠ A B C = 90^{\circ}$ ， $A B = 2$ ，现将 $△ D A C$ 沿 $A C$ 翻折至 $△ S A C$ ，形成三棱锥 $S - A B C$ ，其中 $S$ 为动点.

(1)、证明： $A C ⊥ S B$ ；

(2)、若 $S C ⊥ B C$ ，三棱锥 $S - A B C$ 的各个顶点都在球 $O$ 的球面上，求球心 $O$ 到平面 $S A C$ 的距离；

(3)、求平面 $S A C$ 与平面 $S B C$ 夹角余弦值的最小值.

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18、如图，在边长为 $a$ 的正方形 $A B C D$ 中， $E$ ， $F$ 分别为边 $A B$ ， $A D$ 上的点，连接 $C E$ ， $C F$ ， $E F$ ，将 $△ A E F$ 沿着折线 $E F$ 翻折，使点 $A$ 到达点 $A_{1}$ 位置，连接 $A_{1} C$ ，形成三棱锥 $A_{1} - C E F$ .

(1)、若 $E$ ， $F$ 分别为边 $A B$ ， $A D$ 上的中点， $A_{1} E ⊥ C F$ ，求此时三棱锥 $A_{1} - C E F$ 外接球的表面积；

(2)、若 $E F = B E + D F$ ， $O$ 是 $A C$ 的中点.
（ⅰ）求 $∠ E C F$ 的大小；
（ⅱ）若正方形边长为 $\sqrt{2} + 1$ ，当 $S_{△ C E F}$ 取最小值， $V_{A_{1} - C E F}$ 取最大值时，求此时直线 $A_{1} E$ 与平面 $A_{1} O F$ 所成角的正弦值.

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19、已知函数 $f (x) = a x^{2} + (a - 2) x - \ln x$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 有两个零点， $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数.
（i）求实数 $a$ 的取值范围；
（ii）记 $f (x)$ 较小的一个零点为 $x_{0}$ ，证明： $x_{0} f^{'} (x_{0}) > - 2$ .

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20、设抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，过 $F$ 且斜率为 $1$ 的直线 $l$ 与抛物线交于 $A$ ， $B$ 两点， $|A B| = 4$ .
（1）求抛物线 $C$ 的方程；
（2）若 $A$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $D$ ，求证：直线 $B D$ 恒过定点，并求出该点的坐标.

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