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相关试卷

1、已知复数 $z = \frac{2}{1 - i}$ ，则 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2、在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = 6$ ， $∠ A C B$ 的平分线交AB于点D， $A D = 2 D B$ .平面α过直线AB，且与 $△ A B C$ 所在的平面垂直.

(1)、求直线CD与平面 $α$ 所成角的大小；

(2)、设点 $E \in α$ ，且 $∠ E C D = 30 °$ ，记E的轨迹为曲线Γ.
（i）判断Γ是什么曲线，并说明理由；
（ii）不与直线AB重合的直线l过点D且交Γ于P，Q两点，试问：在平面α内是否存在定点T，使得无论l绕点D如何转动，总有 $∠ P T C = ∠ Q T C$ ？若存在，指出点T的位置；若不存在，说明理由.

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3、定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”，例如：数列1，3，5经过第一次“和扩充”后得到数列 $1, 4, 3, 8, 5$ ；第二次“和扩充”后得到数列 $1, 5, 4, 7, 3, 11, 8, 13, 5$ .设数列 $a, b, c$ 经过 $n$ 次“和扩充”后得到的数列的项数为 $P_{n}$ ，所有项的和为 $S_{n}$ .

(1)、若已知数列 $3, 4, 5$ ，求 $P_{2}, S_{2}$ ；

(2)、求不等式 $P_{n} \geq 2049$ 的解集；

(3)、是否存在不全为0的数列 $a, b, c (a, b, c \in R)$ ，使得数列 $\{S_{n}\}$ 为等差数列？请说明理由.

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4、设函数 $f (x) = \ln x, g (x) = \frac{m (x + n)}{x + 1} (m > 0)$ ．
（1）当 $m = 1$ 时，函数 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线互相垂直，求 $n$ 的值；
（2）若函数 $y = f (x) - g (x)$ 在定义域内不单调，求 $m - n$ 的取值范围；
（3）是否存在正实数 $a$ ，使得 $f (\frac{2 a}{x}) \cdot f (e^{a x}) + f (\frac{x}{2 a}) \leq 0$ 对任意正实数 $x$ 恒成立？若存在，求出满足条件的实数 $a$ ；若不存在，请说明理由．

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5、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $sin \frac{A}{2} + cos A = 1, a c sin A + 4 sin C = 4 c sin A$ ．

(1)、求边长 $a$ 和角 $A$ ；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积的最大值，并判断此时 $△ A B C$ 的形状．

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6、如图所示，四棱锥 $S - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 是矩形，平面 $S C D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $∠ S D C = 90 °$ ，点 $M$ 是线段 $S C$ 的中点，点 $N$ 在线段 $S B$ 上，且 $M N ⊥ S B$ .

(1)、求证： $S A / /$ 平面 $M B D$ ；

(2)、若 $∠ S C D = 45 °$ ， $A D = 2 C D = 4$ ，求平面 $D M N$ 与平面 $B D C$ 所成的角余弦值.

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7、设 $\{a_{n}\}$ 是等比数列， $\{b_{n}\}$ 是递增的等差数列， $\{b_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 2$ ， $b_{1} = 1$ ， $S_{4} = a_{1} + a_{3}$ ， $a_{2} = b_{1} + b_{3}$ .

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 与 $\{b_{n}\}$ 的通项公式

(2)、求证： $\frac{b_{n + 2}}{b_{n} (b_{n} + 1) a_{n + 1}} = \frac{1}{a_{n} b_{n}} - \frac{1}{a_{n + 1} b_{n + 1}}$ ；

(3)、设 $c_{n} = \frac{b_{n + 2}}{b_{n} (b_{n} + 1) a_{n + 1}}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前n项和 $M_{n}$ .

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8、 $Δ A B C$ 的边 $B C, A C, A B$ 的长分别为 $a, b, c$ ，且 $a = 4$ ， $b = 6$ ， $c = 8$ ，则 $\frac{\sin 2 A}{2 \sin C} =$ .

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9、已知函数 $f (x) = A \sin (π x + φ)$ 的部分图象如图所示，点 $B$ ， $C$ 是该图象与 $x$ 轴的交点，过点 $C$ 的直线与该图象交于 $D$ ， $E$ 两点，则 $(\overset{⃑}{B D} + \overset{⃑}{B E}) \cdot (\overset{⃑}{B E} - \overset{⃑}{C E})$ 的值为．

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10、已知 $△ A B C$ 内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $O$ 为 $△ A B C$ 的重心， $cos A = \frac{1}{5}$ ， $A O = 2$ ，则（）

A、 $\vec{A O} = \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ B、 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} \leq 3$ C、 $△ A B C$ 的面积的最大值为 $3 \sqrt{6}$ D、 $a$ 的最小值为 $2 \sqrt{5}$

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11、设 $a$ 为正实数，且 $a \neq 1$ ，已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} (2 a - 1) x + 3 a, x < 0 \\ a^{x}, x \geq 0 \end{matrix}$ ，则使得该函数在 $R$ 上单调递减的充分条件可以是（）

A、 $\frac{2}{5} \leq a < \frac{1}{2}$ B、 $0 < a < \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3} < a < \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{3} \leq a < \frac{1}{2}$

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12、下列说法正确的有（）

A、命题“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} + x + 1 > 0$ ”的否定为“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} + x + 1 \leq 0$ ” B、若 $10^{a} = 4 ， 10^{b} = 25$ ，则 $a + b = 2$ C、若幂函数 $y = (m^{2} - m - 1) x^{m^{2} - 2 m - 3}$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上是增函数，则 $m > 3$ 或 $m < - 1$ D、在同一平面直角坐标系中，函数 $y = 2^{x}$ 与函数 $y = \log_{2} x$ 的图象关于直线 $y = x$ 对称

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13、已知 $a, b, c \in (- 1, 0)$ ，且满足 $a = ln \frac{a + 1}{3} + 2, b = ln \frac{e^{3} (b + 1)}{4}, c = e^{c + ln 2 - 1} - 1$ ，则（）

A、 $c < b < a$ B、 $b < a < c$ C、 $a < c < b$ D、 $a < b < c$

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14、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin ω x + a \cos ω x (ω > 0, a > 0)$ ，对任意 $x_{1}, x_{2} \in R$ ， $f (x_{1}) + f (x_{2})$ 的最大值为4，若 $f (x)$ 在 $(0, π)$ 上恰有两个极值点，则实数 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{4}{3}, \frac{7}{3}]$ B、 $(\frac{4}{3} ， \frac{7}{3}]$ C、 $[\frac{7}{6}, \frac{13}{6})$ D、 $[\frac{7}{6}, \frac{13}{6}]$

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15、已知函数 $y = f (x)$ ，其中 $f (x) = x \sin (\frac{π}{2} - x)$ ，则下列选项中正确的是（）

A、 $f^{'} (x)$ 为奇函数 B、 $f^{'} (x)$ 为偶函数 C、 $f^{'} (0) = 0$ D、 $f (π) + f^{'} (π) = - π$

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16、已知 $α, β$ 均为锐角，且 $sin α = 2 sin β, cos α = \frac{1}{2} cos β$ ，则 $sin (α - β) =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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17、已知向量 $\overset{⇀}{a} = (1,2)$ ， $\overset{⇀}{b} = (3, 4)$ ，且 $\overset{⇀}{a} ⊥ (\overset{⇀}{a} - λ \overset{⇀}{b})$ ，则实数 $λ$ 的值为

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{5}{11}$ D、 $- 1$

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18、若复数z满足 $(z - 1) \cdot i = 1 - i$ ，则 $z =$ （）

A、 $2 + i$ B、 $2 - i$ C、 $i$ D、 $- i$

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19、设集合 $A = \{x |(2 x + 1) (x - 3) < 0\}$ ， $B = {- 1, 0, 2, 4}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 1, 4}$ B、 ${2, 4}$ C、 ${0, 2}$ D、 ${0, 2, 4}$

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20、下列结论不正确的有（）

A、直线 $l : 2 x + y - 2 = 0$ 在 $x$ 轴上的截距为1 B、如果 $A B < 0, B C < 0$ ，那么直线 $A x + B y + C = 0$ 不经过第三象限 C、直线 $k x - y - 2 k + 1 = 0$ 恒过定点 $(2, 1)$ D、方程 $y - 4 = k (x - 3)$ 可以表示平面内所有过点 $(3, 4)$ 的直线

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