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相关试卷

1、若复数 $z = \frac{3 - 5 i}{1 - i}$ ，则 $z$ 在复平面内对应的点所在象限为（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2、若数列 ${a_{n}}$ （ $1 \leq n \leq k$ ， $n \in N$ ， $k \in N$ ）满足 $a_{n} \in {0, 1}$ ，则称数列 ${a_{n}}$ 为k项 $0 - 1$ 数列，集合 $M_{k}$ 是由所有k项 $0 - 1$ 数列组成的集合，从集合 $M_{k}$ 中任意取出两个不同数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 记变量 $X = \sum_{i = 1}^{n} | a_{i} - b_{i} |$

(1)、当 $k = 2$ 时，求集合 $M_{2}$ ；

(2)、若 $k = 3$ ，求随机变量X的分布列与数学期望；

(3)、求 $P (X = m)$ ，其中 $m = 1, 2, \dots, k$ 且 $m \in N$ ．

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3、已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的左顶点为A，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且过点 $(1, \frac{\sqrt{3}}{2})$

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、直线l与椭圆C交于M，N两点，点P为 $△ A M N$ 的外心．
①若 $△ A M N$ 为等边三角形，求PA的长；
②若点P在直线 $x = - \frac{1}{3}$ 上，求点A到直线l距离的最大值．

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4、已知函数 $f (x) = e^{a x} \ln x$ ，其中 $a > 0$ ．

(1)、若 $y = f (x)$ 在点 $(1, 0)$ 处的切线与两坐标轴所围成三角形的面积为 $\frac{\sqrt{e}}{2}$ ，求a的值；

(2)、若 $x = x_{0}$ 是 $f (x)$ 的极小值点，试比较 $f (x_{0})$ 与 $- e$ 的大小．

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5、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a = 1$ ，且 $b \cos A - \cos B = 1$ ．

(1)、若 $C = \frac{π}{4}$ ，求A；

(2)、若 $△ A B C$ 是锐角三角形，求 $△ A B C$ 周长的取值范围．

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6、已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n} = \log_{2} \frac{n + 2}{n + 1}$ ，给出定义：使数列 ${a_{n}}$ 的前k项和为正整数的k（ $k \in N^{*}$ ）叫做好数，则在 $[1, 2025]$ 内的所有“好数”的和为．

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7、设实数 $f (x) = 2 x \ln x$ ， $g (x) = a x - 4$ ， $\exists x \in (0, + \infty)$ 使 $f (x) \leq g (x)$ 成立，则实数α的取值范围．

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8、二项式 ${(\sqrt{x} - \frac{1}{x})}^{6}$ 的二项展开式中的常数项是．

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9、若函数 $f (x) = - a \ln x + \frac{x^{2} - 1}{2}$ 有两个零点，则a的取值范围为（）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $(1, + \infty)$ C、 $(0, 1) \cup (1, + \infty)$ D、 $(0, 1)$

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10、已知圆C： $x^{2} + y^{2} - 6 x - 2 y + 8 = 0$ 的一条直径的两个端点分别是A，B，则它们到直线l： $x + y + 4 = 0$ 的距离分别为 $d_{1}$ ， $d_{2}$ ，则 $d_{1} d_{2}$ 的最大值为（）

A、16 B、32 C、48 D、64

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11、函数 $f (x) = \cos 2 x - \sin x$ 在 $(- 2 π, 2 π)$ 内的零点之和为（）

A、 $- π$ B、 $- 2 π$ C、 $- \frac{π}{2}$ D、0

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12、已知抛物线C： $y^{2} = 8 x$ 的焦点为F，点M在C上，若M到直线 $x = - 3$ 的距离为5，则 $| M F | =$ （）

A、4 B、5 C、6 D、7

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13、已知向量 $\vec{a} = (0, 1)$ ， $\vec{b} = (2, x)$ ，若 $\vec{b} ⊥ (\vec{b} - 4 \vec{a})$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、2 B、1 C、-1 D、-2

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14、已知i为虚数单位，若 $(1 - i) (2 + a i)$ 是实数，则实数 $a =$ （）

A、 $- 1$ B、 $- 2$ C、1 D、2

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15、已知集合 $A = \{x |x^{2} \leq 6\}, B = \{x \in Z |- 2 < x \leq e, e \approx 2.71828\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1, 2\}$ B、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$ C、 $\{0, 1, 2\}$ D、 $\{1, 2, 3\}$

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16、给定一个数列 $\{u_{n}\}$ ，对它的各项依次用“＋”号连接起来的表达式 $u_{1} + u_{2} + \dots + u_{n} + \dots$ （1）称为数项级数，其中， $u_{n}$ 称为数项级数（1）的通项或一般项，数项级数（1）也常写作 $\sum_{n = 1}^{\infty} u_{n}$ 或 $\sum u_{n}$ ．数项级数（1）的前n项之和，记为 $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} u_{k} = u_{1} + u_{2} + \dots + u_{n}$ ，称它为数项级数（1）的第n个部分和，也简称部分和．若数项级数（1）的部分和数列 $\{S_{n}\}$ 收敛于S（即 $\lim_{n \to \infty} S_{n} = S$ ），则称数项级数（1）收敛，称S为数项级数（1）的和，记作 $S = u_{1} + u_{2} + \dots + u_{n} + \dots$ 或 $S = \sum u_{n}$ ．

(1)、求数项级数 $\frac{1}{2} + \frac{3}{4} + \frac{5}{8} + \dots + \frac{2 n - 1}{2^{n}} + \dots$ 的部分和；

(2)、判断数项级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} (\sqrt{n + 2} - 2 \sqrt{n + 1} + \sqrt{n})$ 是否收敛，若收敛，求数项级数的和；

(3)、若数项级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} e q^{n} (q \neq 0)$ 收敛，求实数q的取值范围．

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17、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $F_{1} (- c, 0)$ ， $F_{2} (c, 0)$ 为该椭圆C的左、右焦点．M为椭圆C上任意一点， $△ M F_{1} F_{2}$ 的最大面积为1．点H在圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = \frac{2}{3}$ 上运动，过H点作圆 $C_{1}$ 的切线交椭圆C于A、B两点．四边形 $D E S T$ 是椭圆C的外切矩形．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、（ⅰ）设点D运动轨迹为 $C_{2}$ ，求 $C_{2}$ 的方程；
（ⅱ）延长 $O A$ 、 $O B$ 分别交轨迹 $C_{2}$ 于P、Q两点，求 $△ O P Q$ 的面积．

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18、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 中， $A B = A P$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B = 2$ ， $A C = \sqrt{10}$ ， $A D = 4$ ， $∠ A D C =45 °$ ．

(1)、若E为 $P B$ 的中点，求证：平面 $P B C ⊥$ 平面 $A D E$ ；

(2)、若三角形 $A C D$ 是钝角三角形，求平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 所成的角的余弦值．

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19、甲盒子中有以下除颜色和序号外完全相同的六个球：红球（1号），红球（2号），蓝球（3号），蓝球（4号），白球（5号），白球（6号）．

(1)、从甲盒中摸出一球，摸出红色球和摸出偶数序号球这两事件相互独立吗，回答并给出理由；

(2)、现有摸球游戏，从甲盒摸出两个球，若颜色不同，记录分数为其序号之和，若颜色相同，记录分数为10，设分数为随机变量X，求X的分布列和均值．并求分数不低于9的条件下，两球颜色相同的概率．

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20、已知 $f (x) = x + \ln x$ ， $g (x) = m x^{2} + (2 m + 3) x + 1$ ， $m \in R$ ．

(1)、证明： $f (x)$ 有且仅有1个零点；

(2)、若 $f (x)$ 在 $(1, 1)$ 处的切线与 $g (x)$ 只有一个公共点，求实数m的值．

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