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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ， $A D$ 为边 $B C$ 上的中线.

(1)、证明： $A D = \frac{1}{2} \sqrt{2 (b^{2} + c^{2}) - a^{2}}$ ；

(2)、若 $A = \frac{π}{3}$ ， $a = 2$ ，求 $A D$ 的最大值.

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2、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n}$ ， $a_{n + 1}$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 4 n x + b_{n} = 0$ 的两个根.

(1)、求 $a_{1}$ ；

(2)、求数列 $\{{(- 1)}^{n} \cdot \frac{4 n}{b_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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3、有三个袋子，每个袋子都装有 $n$ 个球，球上分别标有数字 $1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, n$ .现从每个袋子里任摸一个球，用 $X, Y, Z$ 分别表示从第一，第二，第三个袋子中摸出的球上所标记的数，则事件“ $X + Y = Z$ ”的概率为.

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4、在 $△ A B C$ 中，已知 $C = \frac{2 π}{3}$ ， $tan A \cdot tan B = 2 - \sqrt{3}$ ，则 $cos (A - B) =$ .

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5、双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{6} = 1$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $P$ 在双曲线右支上，若 $|P F_{1}| = 4$ ，则 $∠ F_{1} P F_{2} =$ .

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6、设曲线 $C_{1} : y = e^{x}$ ，抛物线 $C_{2} : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，记抛物线的焦点为 $F$ ， $M$ ， $Q$ 为分别为曲线 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 上的动点， $l$ 为曲线 $C_{1}$ 的切线，则（）

A、若 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 无公共点，则 $p \in (0, e)$ B、若 $l$ 过点 $F$ ，则 $l$ 被 $C_{2}$ 截得的弦长为 $p + \frac{2}{e^{p + 2}}$ C、当 $p = 1$ 时， $|F M| \geq \frac{\sqrt{5}}{2}$ D、当 $p = 1$ 时， $|M Q| > \frac{\sqrt{2}}{4}$

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7、已知函数 $f (x) = sin x \cdot \sqrt{1 + cos 2 x}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 是奇函数 B、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ C、 $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 的最小值为 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$

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8、已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的弦 $A B$ 的中点横坐标为5，则 $|A B|$ 的最大值为（）

A、12 B、11 C、10 D、9

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9、设函数 $f (x) = ln (e^{2 x} + 1) + |x| - x$ ，则不等式 $f (2 x - 1) - f (x + 1) \leq 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, 2]$ B、 $[0, 2]$ C、 $[2, + \infty)$ D、 $(- \infty, 0] \cup [2, + \infty)$

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10、早在两千年前，古人就通过观测发现地面是球面，并会运用巧妙的方法对地球半径进行估算.如图所示，把太阳光视为平行光线，O为地球球心，A，B为北半球上同一经度的两点，且A，B之间的经线长度为L，于同一时刻在A，B两点分别竖立一根长杆 $A A_{1}$ 和 $B B_{1}$ ，通过测量得到两根长杆与太阳光的夹角 $α$ 和 $β$ （ $α$ 和 $β$ 的单位为弧度），由此可计算地球的半径为（）

A、 $\frac{L}{β - α}$ B、 $\frac{L}{\sin (β - α)}$ C、 $\frac{L}{α + β}$ D、 $\frac{L}{\sin (α + β)}$

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11、下列四组数据中，方差最小的为（）

A、 $29, 25, 37$ B、 $30, 46, 25$ C、 $38, 40, 35$ D、 $40, 18, 30$

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12、若 $l, m$ 为两条不同的直线， $α, β$ 为两个不同的平面，则（）

A、若 $l ∥ α$ ， $m \subset α$ ，则 $l ∥ m$ B、若 $l ∥ α$ ， $m ∥ α$ ，则 $l ∥ m$ C、若 $l ⊥ α$ ， $m ⊥ β$ ， $l ⊥ m$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $l ∥ α$ ， $α ∥ β$ ，则 $l // β$

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13、已知平面向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为 $60 °$ ，且 $|\vec{a}| = 2$ ， $|\vec{a} + \vec{b}| = 2 \sqrt{3}$ ，则 $|\vec{b}| =$ （）

A、1 B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、4

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14、复数 $z$ 满足 $z (1 + i) = 2 i$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则 $|z| =$ （）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、1 D、 $\sqrt{2}$

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15、已知集合 $A = \{x |x = 2 k, k \in Z\}$ ， $B = \{x |{log}_{2} x < 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{2, 4\}$ B、 $\{4, 6\}$ C、 $\{0, 2, 4\}$ D、 $\{2, 4, 6\}$

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16、下列说法正确的是（）

A、若直线的一个方向向量为 $(2, 3)$ ，则该直线的斜率为 $k = \frac{3}{2}$ B、“ $a = - 1$ ”是“直线 $a^{2} x - y + 1 = 0$ 与直线 $x - a y - 2 = 0$ 互相垂直”的充要条件 C、当点 $P (3, 2)$ 到直线 $m x - y + 1 - 2 m = 0$ 的距离最大时， $m$ 的值为 $- 1$ D、已知直线 $l$ 过定点 $P (1, 0)$ 且与以 $A (2, - 3), B (- 3, - 2)$ 为端点的线段有交点，则直线 $l$ 的斜率 $k$ 的取值范围是 $(- \infty, - 3] \cup [\frac{1}{2}, + \infty)$

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17、已知开启某款保险柜需输入四位密码 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, X$ ，其中 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ 为用户个人设置的三位静态密码（每位数字都是 $0 \sim 9$ 中的一个整数）， $X$ 是根据开启时收到的动态校验钥匙 $m$ （ $m$ 为 $1 \sim 5$ 中的一个随机整数）计算得到的动态校验码， $X$ 是 $m a_{1} + (m + 1) a_{2} + (m + 2) a_{3}$ 的个位数字．

(1)、若 $m = 2$ ，且 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, X$ 依次为公差为1的无穷等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前4项，求 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；

(2)、若 $a_{1} = a_{2} = m = 2$ ，从 $0 \sim 9$ 中随机取1个数作为 $a_{3}$ ，求动态校验码 $X$ 的分布列；

(3)、若 $P (m = i) = a i (i = 1, 2, 3, 4, 5), a_{1}, a_{2}, a_{3}$ 的取值分别为 $k, k + 1, k + 2$ ，其中 $k$ 等可能地取 $0, 1, 2, \dots, 7$ ，求 $X = 0$ 的概率．

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18、已知圆 $E : x^{2} + y^{2} - 8 x + 15 = 0$ 经过椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点 $F$ 及右顶点 $G$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、过点 $E$ 的直线与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，求线段 $A B$ 的中点 $D$ 的轨迹方程；

(3)、过点 $H (\frac{25}{3}, t) (0 < t < b)$ 作与 $x$ 轴平行的直线与 $C$ 交于点 $P, Q$ ，直线 $H F$ 与 $y$ 轴交于点 $R$ ，证明：点 $P, R, F, Q$ 共圆.

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19、已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 x + 1 + a ln x$ ．

(1)、若 $a = - 1$ ，求函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 在区间 $(1, 2)$ 上有唯一的零点，求 $a$ 的取值范围．

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20、如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $△ B B_{1} C_{1}$ 是边长为 $2 \sqrt{2}$ 的正三角形， $A_{1} B = A_{1} B_{1} = 2 \sqrt{5}, A_{1} C_{1} = 2 \sqrt{6}$ .

(1)、证明：平面 $A_{1} B B_{1} ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1}$ ；

(2)、求直线 $C A_{1}$ 与平面 $A_{1} B C_{1}$ 所成角的正弦值.

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