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相关试卷

1、已知圆 $M$ ： ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ ，过点 $A (0, 2)$ 向圆 $M$ 作切线，切点为 $P$ ，再作斜率为 $- \frac{7}{4}$ 的割线交圆 $M$ 于 $B$ 、 $C$ 两点，则 $△ P B C$ 的面积为（）．

A、 $\frac{56}{65}$ B、 $\frac{64}{65}$ C、 $\frac{211}{325}$ D、 $\frac{256}{325}$

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2、给出下列命题，其中不正确的为（）

A、若 $\vec{A B} = \vec{C D}$ ，则必有A与C重合，B与D重合，AB与CD为同一线段 B、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$ ，则 $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩$ 是钝角 C、若 $\vec{A B} + \vec{C D} = \vec{0}$ ，则 $\vec{A B}$ 与 $\vec{C D}$ 一定共线 D、非零向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 满足 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ ， $\vec{b}$ 与 $\vec{c}$ ， $\vec{c}$ 与 $\vec{a}$ 都是共面向量，则 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 必共面

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3、已知三条直线 $a x + 2 y + 8 = 0$ 、 $4 x + 3 y = 10$ 和 $2 x - y = 10$ 中没有任何两条平行，但它们不能构成三角形的三边，则实数 $a$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、 $0$ C、 $1$ D、 $2$

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4、已知平面 $α$ 、 $β$ 的法向量分别为 $\vec{a} = (- 1 ， y ， 4)$ 、 $\vec{b} = (x ， - 1 ， - 2)$ 且 $α ⊥ β$ ，则 $x + y$ 的值为（）

A、 $- 8$ B、 $- 4$ C、 $4$ D、 $8$

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5、对于空间任意一点 $O$ 和不共线的三点 $A, B, C$ ，有如下关系： $\vec{O P} = \frac{1}{6} \vec{O A} + \frac{1}{3} \vec{O B} + \frac{1}{2} \vec{O C}$ ，则（）

A、 $O, A, B, C$ 四点必共面 B、 $P, A, B, C$ 四点必共面 C、 $O, P, B, C$ 四点必共面 D、 $O, P, A, B, C$ 五点必共面

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6、如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的侧面积为 $72 + 36 \sqrt{2}$ ，底面 $△ A B C$ 为等腰直角三角形， $A B = A C$ ， $A A_{1} = 6$ ， M，N分别是 $A_{1} B$ 和 $A C_{1}$ 的中点．

(1)、求证： $M N / /$ 平面 $A B C$ ；

(2)、取 $A_{1} B_{1}$ 的中点E，连接 $B E$ 与 $B_{1} M$ 交于点O，求异面直线 $O C_{1}$ 与 $A_{1} B$ 所成角的余弦值．

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7、错排问题最早由伯努利与欧拉系统研究，历史上称为伯努利一欧拉的装错信封问题.现在定义错排数 $F (n, m)$ 为将 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $\dots$ ， $a_{n}$ 共 $n$ 个元素排列在 $b_{1}$ ， $b_{2}$ ， $b_{3}$ ， $\dots$ ， $b_{n}$ 共 $n$ 个位置上，其中有 $m$ 个元素不在其对应位置上的情况数（ $a_{k}$ 的对应位置为 $b_{k}$ ， $k \in N^{*}$ ， $k \leq n$ ）.容易得到， $F (1, 1) = 0$ ， $F (2, 2) = 1$ ， $F (3, 3) = 2$ ，规定 $F (0, 0) = 1$ .

(1)、计算： $F (4, 4)$ ， $F (5, 5)$ ；

(2)、记 $d_{n} = \frac{F (n + 1, n + 1)}{F (n, n) + F (n - 1, n - 1)}$ ， $\{d_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，证明： $S_{n} = \frac{n (n + 1)}{2} (n \in N^{*})$ ；

(3)、定义错排概率 $P (n, m)$ 为随机将 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $\dots$ ， $a_{n}$ 共 $n$ 个元素排列在 $b_{1}$ ， $b_{2}$ ， $b_{3}$ ， $\dots$ ， $b_{n}$ 共 $n$ 个位置上，其中恰有 $m$ 个元素不在其对应位置上的概率，证明： $P (n, m) = \frac{1}{(n - m)!} \cdot \sum_{i = 0}^{m} \frac{{(- 1)}^{i}}{i!}$ .

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8、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，过点 $R (n p, 0) (n > 0)$ 作斜率为 $k$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $P$ ， $Q$ 两点.

(1)、当 $n = \frac{1}{2}$ 时，
（i）若点 $H$ 在 $C$ 的准线上，且满足 $R H ⊥ P Q, |P R| = 4 |Q R|$ ，求 $\frac{|P H|}{|Q H|}$ 的值；
（ii）若点 $M$ ， $N$ 在 $x$ 轴上，且满足 $M P ⊥ l, N Q ⊥ l$ ，求 $|M N|$ 取得最小值时 $k$ 的值.

(2)、若存在 $n > 0$ ，使得 $\frac{1}{{|P R|}^{2}} + \frac{1}{{|Q R|}^{2}} = λ$ 对任意实数 $k$ 成立，求 $n$ 的值.

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9、已知函数 $f (x) = a x^{2} - x \ln x + 2$ ．

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线与 $y = a x^{2} + (2 a + 3) x$ 的图象有且仅有一个交点，求 $a$ 的值；

(2)、若 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增，求实数 $a$ 的取值范围．

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10、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为平行四边形， $E$ 为 $P B$ 的中点， $A B = A P = 4, sin ∠ B P D = sin ∠ D B P$ .

(1)、证明： $B P ⊥$ 平面 $A D E$ ；

(2)、若 $A B ⊥ B C, ∠ P A B = 60 °$ ，直线 $P C$ 与平面 $A B C D$ 所成角为 $30 °$ ，求二面角 $A - B D - E$ 的正弦值.

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11、已知 $(x^{5} - \frac{3}{x}) {(a x + \frac{1}{x^{2}})}^{5}$ 的展开式中各项系数的和是2，则展开式中 $x$ 的系数为.（用数字作答）

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12、已知函数 $f (x)$ 在区间 $(0, 2)$ 上单调递减，在区间 $(2, + \infty)$ 上单调递增，且当 $x > 0$ 时， $f (x) > x$ ，则 $f (x)$ 的解析式可以为（写出一个满足条件的解析式即可）

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13、计算： $\frac{\cos 10 °}{\sin 20 °} - 2 \cos 20 ° =$ .

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14、如图，已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ ， $△ A O B$ 的顶点 $A$ ， $B$ 在圆周上， $∠ A O B = \frac{π}{6}$ ，现将 $△ A O B$ 在圆内按逆时针方向依次作旋转、具体方法如下：第一次，以 $A$ 为中心，使 $O$ 落到圆周上；第二次，以 $O$ 为中心，使 $B$ 落到圆周上；第三次，以 $B$ 为中心，使 $A$ 落到圆周上，以此类推旋转.若旋转了 $n$ 次后点 $A$ 所走路程的总长度为 $337 π + \frac{1348 π}{3} \sin \frac{π}{12}$ ，则 $n$ 的值可能为（）

A、2022 B、2023 C、2024 D、2026

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15、如图，某电子实验猫线路图上有 $A$ ， $B$ 两个即时红绿指示灯，当遇到红灯时，实验猫停止前行，恢复绿灯后，继续前行， $A$ ， $B$ 两个指示灯工作相互独立，且出现红灯的概率分别为 $\frac{1}{3}$ ， $p (0 < p < 1)$ .同学甲从第一次实验到第五次实验中，实验猫在 $A$ 处遇到红灯的次数为 $X$ ，在 $A$ ， $B$ 两处遇到红灯的次数之和为 $Y$ ，则（）

A、 $P (X = 3) = \frac{40}{243}$ B、 $D (X) = \frac{8}{9}$ C、一次实验中， $A$ ， $B$ 两处至少遇到一次红灯的概率为 $\frac{1}{3} + \frac{2}{3} p$ D、当 $p = \frac{2}{5}$ 时， $E (Y) = \frac{11}{3}$

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16、已知正数 $a$ ， $b$ 满足 $a + b = 2$ ，则（）

A、 $a b \leq 1$ B、 $a^{2} + b^{2} \leq 2$ C、 $\frac{a}{b^{2}} + \frac{b}{a^{2}} \geq 2$ D、 $\frac{1}{4} < 2^{a - b} < 4$

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17、在湖南省桂阳县舂陵水上，巍然耸立着一座世界上最早的大型深孔溢流双曲线拦河拱坝，如图所示.若该拱坝下方边界线近似看作以直线 $y = \frac{3}{4} x$ 为其中一条渐近线的双曲线 $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{16} = 1 (a > 0)$ 的上支， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为该双曲线的下焦点和上焦点，若 $M$ 为该拱坝下方边界线上的一点，则 $|M F_{1}| + \frac{36}{|M F_{2}| + 1}$ 的最小值为（）

A、17 B、 $\sqrt{17}$ C、11 D、 $\sqrt{11}$

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18、高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数 $f (x) = [x]$ 称为高斯函数，其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，如 $[2.3] = 2$ ， $[- 1.9] = - 2$ .已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的第5项为5，前10项和为55，等比数列 $\{b_{n}\}$ 的第3项为4，第6项为32.若数列 $\{a_{n} b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ， $c_{n} = [- \log_{2} (T_{n} - 1)]$ ，则 $[c_{1000}] =$ （）

A、 $- 1009$ B、 $- 1010$ C、 $- 1011$ D、 $- 1012$

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19、扇子发源于我国，我国的扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，历来我国有“制扇王国”之称.现有某工艺厂生产的一款优美的扇环形扇子，如图所示，其扇环面是由画有精美图案的油布构成，扇子对应的扇环外环的弧长为48cm，内环的弧长为16cm，油布径长（外环半径与内环半径之差）为24cm，则该扇子的油布面积大约为（油布与扇子骨架皱折部分忽略不计）

A、1024cm² B、768cm² C、640cm² D、512cm²

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20、某地区2024年全年月平均温度 $y$ （单位：℃）与月份 $t$ 之间近似满足 $y = A \sin (\frac{π}{6} t + φ) + k$ $(A > 0, - π < φ < 0)$ .已知该地区2月份的月平均温度为 $- 1$ ℃，全年月平均温度最高的月份为6月份，且平均温度为32℃，则该地区12月份的平均温度为（）

A、 $- 12$ ℃ B、 $- 10$ ℃ C、 $- 9$ ℃ D、 $- 6$ ℃

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