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相关试卷

1、 $\frac{i - 5}{i}$ （ $i$ 为虚数单位）的虚部为（）

A、 $- 1$ B、5 C、 $- 5 i$ D、 $- 5$

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2、设函数 $f (x) = 2 \sin (2 x + \frac{π}{3})$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{6}$ 对称 C、 $f (x)$ 的一个零点为 $x = - \frac{π}{6}$ D、 $f (x)$ 的最大值为1

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3、设 $t > 1$ ， $n \geq 1$ ， $n \in N$ ，若各项均为正数的数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $\frac{1}{t} a_{n} < a_{n + 1} < a_{n}$ ，则称数列 $\{a_{n}\}$ 具有性质“ $P (t)$ ”．

(1)、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 1 - a_{n} (n \in N^{*})$ ，试判断数列 $\{a_{n}\}$ 是否具有性质“ $P (4)$ ”，并说明理由；

(2)、若数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = \frac{2}{3}$ ，且 $a_{n + 1} = ln (e^{a_{n}} - 1) - ln a_{n} (n \in N^{*})$ ．
（i）证明：数列 $\{a_{n}\}$ 具有性质“ $P (3)$ ”；
（ii）记数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，证明： $T_{n} \geq 1 - \frac{1}{3^{n}} (n \in N^{*})$ ．

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4、已知函数 $f (x) = \frac{\ln (a x)}{x - 1}$ .

(1)、已知 $f (x)$ 在区间 $(- \infty, - 1]$ 上单调递减，求 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $a = \frac{2}{e}$ 时，证明：若 $x_{1} \in (0, 1), x_{2} \in (1, + \infty)$ ，则 $f (x_{1}) - f (x_{2}) > \frac{3}{2}$ .
（参考数据： $e^{2} \approx 7.39, e^{3} \approx 20.09, e^{4} \approx 54.60$ ）

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5、在梯形 $A B C D$ 中， $A B$ $∥$ $C D, ∠ B A D = 60^{\circ}, A B = 2 A D = 2 C D = 4, P$ 为 $A B$ 的中点，线段 $A C$ 与 $D P$ 交于 $O$ 点，将 $△ A C D$ 沿 $A C$ 折起到 $△ A C D^{'}$ 的位置，使得平面 $A C B ⊥$ 平面 $A C D^{'}$ .

(1)、求证： $B C$ $∥$ 平面 $P O D^{'}$ ；

(2)、线段 $P D^{'}$ 上是否存在点 $Q$ ，使得 $C Q$ 与平面 $B C D^{'}$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{8}$ ？若存在，求出 $\frac{P Q}{P D^{'}}$ 的值；若不存在，请说明理由.

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6、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 1$ ， $2 S_{n} = 3 a_{n} + m$ .

(1)、求实数 $m$ 的值和数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = a_{n} \cdot \log_{3} a_{n + 1}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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7、已知曲线 $y = \frac{1}{x} + \frac{\ln x}{a}$ 在 $x = 1$ 处的切线 $l$ 与直线 $2 x + 3 y = 0$ 垂直，则实数 $a$ 的值为.

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8、设抛物线 $C : y^{2} = 6 x$ 的焦点为 $F$ ，过 $F$ 的直线 $m$ 交 $C$ 于 $A$ 、 $B$ ，过 $F$ 且垂直于 $m$ 的直线交 $l : x = - \frac{3}{2}$ 于 $E$ ，过点 $A$ 作 $l$ 的垂线，垂足为 $D$ ，过点 $B$ 作 $l$ 的垂线，垂足为 $P$ ，则正确的结论是（）

A、 $|D E| = |P E|$ B、 $|A E| = |A B|$ C、存在直线 $m$ ，使得 $|A E| \cdot |B E| = 18$ D、对任意直线 $m$ ， $\frac{1}{{|A E|}^{2}} + \frac{1}{{|B E|}^{2}} = \frac{1}{{|E F|}^{2}}$

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9、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{24} = 1$ 的左，右焦点，若 $P$ 是双曲线左支上的点，且 $|P F_{1}| \cdot |P F_{2}| = 48$ ．则 $△ F_{1} P F_{2}$ 的面积为（）

A、8 B、16 C、24 D、 $8 \sqrt{3}$

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10、已知等差数列的前15项和 $S_{15} = 30$ ，则 $a_{2} + a_{13} + a_{9} =$ （）

A、7 B、15 C、6 D、8

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11、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} cosπ x, x \geq 0 \\ \frac{2}{x}, x < 0 \end{matrix}$ ，则 $f [f (\frac{2}{3})] =$ （）

A、2 B、 $- 2$ C、4 D、 $- 4$

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12、直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的斜率分别为1，2， $l_{1}$ ， $l_{2}$ 夹角为 $θ$ ，则 $\sin 2 θ =$ （）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{3}{10}$

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13、已知复数 $z$ 满足 $(i - 2) z = 4 + 3 i$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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14、如图1，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 30 °$ ， $∠ A B C = 90 °$ ， $D$ 为 $A C$ 中点， $A E ⊥ B D$ 于 $E$ ，延长 $A E$ 交 $B C$ 于 $F$ ，将 $△ A B D$ 沿 $B D$ 折起，使平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ ，如图2所示．

(1)、 $A E ⊥$ 平面 $B C D$

(2)、求二面角 $A - D C - B$ 的余弦值；

(3)、在线段 $A F$ 上是否存在点 $M$ 使得 $E M //$ 平面 $A D C$ ?若存在，求 $\frac{A M}{A F}$ 的值；若不存在，请说明理由．

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15、已知正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的侧棱长为 $\sqrt{10}$ ，上、下底面的边长分别为 $\sqrt{3}$ ， $2 \sqrt{3}$ ，则三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的外接球的表面积为．

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16、 ${(x + 1)}^{5}$ 的展开式中 $x^{2}$ 项的系数为．

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17、已知角 $α$ 终边经过点 $(- 3, 4)$ ，则 $tan \frac{α}{2} =$ ．

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18、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} = \frac{1}{3}$ ，且满足 $a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{1 + 5 a_{n}} (n \in N^{*})$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n} = \frac{2^{n}}{a_{n}}$ ，求 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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19、如图，平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面 $A B C D$ 是边长为1的正方形，且 $∠ A_{1} A D = ∠ A_{1} A B = 60 °$ ， $A A_{1} = 2$ ，则线段 $A C_{1}$ 的长为（）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $\sqrt{11}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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20、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} x^{2} + 2 x, 0 < x < 2 \\ - 2 x + 8, x \geq 2 \end{cases}$ ，若 $f (a) = f (b), a < b$ ，则 $a - b$ 的取值范围是（）

A、 $(- 4, \sqrt{5} - 3]$ B、 $(- 4, - 1]$ C、 $(- 4, 1 - \sqrt{5}]$ D、 $(- 4, 3 + \sqrt{5}]$

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