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相关试卷

1、已知复数 $z = \frac{3 i - 1}{i + 1}$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、 $- 2$ B、 $- 2 i$ C、2 D、 $2 i$

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2、已知向量若向量 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 2$ .

(1)、若 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为120°，求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的值；

(2)、若 $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{5}$ ，求 $|2 \vec{a} - 3 \vec{b}|$ ；

(3)、若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，求 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角.

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3、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $a = \sqrt{2}, B = 60^{\circ} .$
（1）若 $C = 75^{\circ}$ ，求 $b$ 的值；
（2）若 $b = \sqrt{14}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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4、如图，在 $△ A B C$ 中， $\vec{A D} \cdot \vec{B C} = 0$ ， $\vec{B C} = 3 \vec{B D}$ ，过点 $D$ 的直线分别交直线 $A B$ ， $A C$ 于点 $M$ ， $N$ .若 $\vec{A M} = λ \vec{A B}$ ， $\vec{A N} = μ \vec{A C}$ $(λ > 0, μ > 0)$ ，则 $λ + 2 μ$ 的最小值是．

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5、已知 $f (x) = \tan x \cdot (e^{x} + e^{- x}) + 6$ ， $f (t) = 8$ ，则 $f (- t) =$ ．

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6、下列命题中错误的是（）

A、 $|\vec{a} + \vec{b}| \leq |\vec{a}| + |\vec{b}|$ B、若 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| > |\vec{b}|$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 同向，则 $\vec{a} > \vec{b}$ C、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c}$ ，则 $\vec{b} = \vec{c}$ D、若 $△ A B C$ 是等边三角形，则 $⟨\vec{A B}, \vec{B C}⟩ = \frac{2 π}{3}$

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7、探索下图所呈现的规律，判断2 015至2 017箭头的方向是（）

A、 B、 C、 D、

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8、如图所示，在正方形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $A B$ 的中点， $F$ 为 $C E$ 的中点，则 $\vec{B F} =$ （　　）

A、 $\frac{3}{4} \vec{A B} + \frac{1}{4} \vec{A D}$ B、 $- \frac{1}{4} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A D}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{A B} + \vec{A D}$ D、 $\frac{3}{4} \vec{A B} - \frac{1}{4} \vec{A D}$

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9、作用于原点的两个力 $\overset{⃑}{F_{1}} = (1, 1), \overset{⃑}{F_{2}} = (2, 3)$ ，为使它们平衡，需加力 $\overset{⃑}{F_{3}}$ 等于（）

A、 $(3, 4)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(- 3, - 4)$ D、 $(2, 3)$

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10、已知对任意平面向量 $\vec{A B} = (x, y)$ ，把 $\vec{A B}$ 绕其起点逆时针方向旋转 $θ$ 角得到向量 $\vec{A P} = (x \cos θ - y \sin θ, x \sin θ + y \cos θ)$ ，叫做把点 $B$ 绕点 $A$ 沿逆时针方向旋转 $θ$ 角得到点 $P$ ．

(1)、已知平面内点 $A (2, 4)$ ，点 $B (2 + \sqrt{2}, 4 + 4 \sqrt{2})$ ，若把点 $B$ 绕点 $A$ 沿顺时针方向旋转 $\frac{π}{4}$ 得到点 $P$ ，求点 $P$ 的坐标；

(2)、已知 $\vec{A B} = (1, 1)$ ，把点 $B$ 绕点 $A$ 沿逆时针方向旋转 $θ$ 角得到点 $P$ ， $\vec{C D} = (2, 6)$ ，若 $\vec{A P} ⊥ \vec{C D}$ ，求 $\cos 2 θ$ 的值．

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11、如图所示，在圆内接四边形 $A B C D$ 中， $A D = 1$ ， $C D = 2$ ， $A C = \sqrt{7}$ ．

(1)、求 $∠ A D C$ 及 $△ A C D$ 的面积；

(2)、若 $B C = 2$ ，求 $A B$ 的长．

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12、“广佛之眼”摩天轮半径为 $50 m$ ，成为佛山地标建筑之一，被称作天空之眼摩天轮．如图，圆心 $O$ 距地面的高度为 $60 m$ ，已知摩天轮按逆时针方向匀速转动，每 $15 min$ 转动一圈，游客在摩天轮的舱位转到距离地面最近的位置进舱则游客进舱 $10 min$ 时他距离地面的高度为 $m$ ．

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13、如图，为测量海岛的高度 $A B$ 以及其最高处瞭望塔的塔高 $B C$ ，测量船沿航线 $D A$ 航行，且 $D A$ 与 $A C$ 在同一铅直平面内，测量船在 $D$ 处测得 $∠ B D A = α$ ， $∠ C D A = β$ ，然后沿航线 $D A$ 向海岛的方向航行 $m$ 千米到达 $E$ 处，测得 $∠ B E A = γ$ ， $∠ C E A = δ$ （ $δ > γ > β > α$ ，测量船的高度忽略不计），则（）

A、 $A B = \frac{m \sin γ \sin α}{\sin (δ - α)}$ B、 $B D = \frac{m \sin γ}{\sin (γ - α)}$ C、 $B C = \frac{m \sin α}{\cos δ \sin (γ - α)}$ D、 $C D = \frac{m \sin δ}{\sin (δ - β)}$

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14、互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”．如图，设 $O x$ ， $O y$ 是平面内相交的两条数轴， $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 分别是与 $x$ 轴， $y$ 轴正方向同向的单位向量，且 $⟨\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}⟩ = \frac{π}{3}$ ，过点 $P$ 作两坐标轴的平行线，其在 $x$ 轴和 $y$ 轴上的截距 $a$ ， $b$ 分别作为点 $P$ 的 $x$ 坐标和 $y$ 坐标，记 $P (a, b)$ ，则该坐标系中 $M (3, 3)$ 和 $N (2, 1)$ 两点间的距离为（）

A、3 B、2 C、 $\sqrt{6}$ D、 $\sqrt{7}$

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15、如图，四面体 $A - B_{1} C D_{1}$ 的四个顶点均为长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的顶点．

(1)、若四面体 $A - B_{1} C D_{1}$ 各棱长均为 $\sqrt{2}$ ，求该四面体的表面积和体积；

(2)、若 $A D_{1} = \sqrt{3}$ ， $A C = 2$ ， $A B_{1} = \sqrt{5}$ ，求四面体 $A - B_{1} C D_{1}$ 外接球的表面积．

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16、对于平面向量 $\vec{a_{k}} = (x_{k}, y_{k}) (k = 1, 2, \cdot \cdot \cdot)$ ，定义“ $F_{θ}$ 变换”： $\vec{a_{k + 1}} = F_{θ} (\vec{a_{k}}) = (x_{k} \cos θ - y_{k} \sin θ, x_{k} \sin θ + y_{k} \cos θ)$ ， $(0 < θ < π)$

(1)、若向量 $\vec{a_{1}} = (2, 1)$ ， $θ = \frac{π}{3}$ ，求 $\vec{a_{2}}$ ；

(2)、已知 $\vec{O A} = (x_{1}, y_{1})$ ， $\vec{O B} = (x_{2}, y_{2})$ ，且 $\vec{O A}$ 与 $\vec{O B}$ 不平行， $\vec{O A^{'}} = F_{θ} (\vec{O A})$ ， $\vec{O B^{'}} = F_{θ} (\vec{O B})$ ，证明： $S_{△ O A B} = S_{△ O A^{'} B^{'}}$ ；

(3)、若向量 $\vec{a_{4}} = \vec{a_{1}}$ ，求 $θ$ ．

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17、已知a，b，c分别为 $△ A B C$ 三个内角A，B，C的对边，且满足 $b = 2$ ， $\sqrt{3} b \sin C + b \cos C = a$ ．

(1)、求B；

(2)、若D，E为线段 $B C$ 上的两个动点，且满足 $∠ D A E = 60 °$ ， $S_{△ A B C} = \sqrt{3}$ ，求 $S_{△ A D E}$ 的取值范围．

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18、设向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 2$ ， $|3 \vec{a} - \vec{b}| = 3$ ．

(1)、求 $|2 \vec{a} + 3 \vec{b}|$ 的值；

(2)、已知 $2 \vec{a} + 3 \vec{b}$ 与 $λ \vec{a} - \frac{3}{2} \vec{b}$ 的夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{11}}{33}$ ，求 $λ$ 的值．

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19、如图所示，已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的所有棱长都为1， $B C ⊥ C C_{1}$ ，点P为线段 $B_{1} C_{1}$ 上的动点．

(1)、若点 $P$ 恰为线段 $B_{1} C_{1}$ 上靠近点 $C_{1}$ 的三等分点，求三棱锥 $P - A_{1} B C$ 和三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积之比；

(2)、求 $P A_{1} + P C$ 的最小值及此时 $B_{1} P$ 的值．

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20、勒洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛．如图所示，分别以正三角形 $A B C$ 的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为勒洛三角形．已知正三角形 $A B C$ 边长为2，点P为圆弧 $\overset{⌢}{A B}$ 上的一点，且满足： $S_{△ A B P} = \frac{\sqrt{3}}{12}$ ，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} + \vec{P B} \cdot \vec{P C} + \vec{P C} \cdot \vec{P A}$ 的值为．

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