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相关试卷

1、如图，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ ， $F$ ， $G$ 分别是棱 $C C_{1}$ ， $C B$ ， $C D$ 的中点， $P$ 为线段 $A D_{1}$ 上的一个动点，平面 $α //$ 平面 $E F G$ ，则下列说法中正确的是（）

A、不存在点 $P$ ，使得 $C P ⊥$ 平面 $E F G$ B、三棱锥 $P - E F G$ 的体积为定值 C、平面 $α$ 截该正方体所得截面的面积的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、平面 $α$ 截该正方体所得截面可能是三角形或六边形

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2、已知向量 $\vec{a} = (3, - 4)$ ， $\vec{b} = (2, 1)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $|\vec{b}| = \sqrt{5} |\vec{a}|$ B、 $\vec{b} ⊥ (5 \vec{a} - 2 \vec{b})$ C、 $\vec{a} // (3 \vec{a} + 2 \vec{b})$ D、 $\cos ⟨\vec{b}, \vec{a} - \vec{b}⟩ = - \frac{3 \sqrt{130}}{130}$

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3、从1，2，3， $\dots$ ， 9中任取三个不同的数，则在下述事件中，是互斥但不是对立事件的有（）

A、“三个都为偶数”和“三个都为奇数” B、“至少有一个奇数”和“至多有一个奇数” C、“至少有一个奇数”和“三个都为偶数” D、“一个偶数两个奇数”和“两个偶数一个奇数”

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4、 $△ A B C$ 的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $a = 2 c \cos B$ ， $c \cos B + b \cos C = \sqrt{2} c$ ，则 $△ A B C$ 的形状是（）

A、等腰非直角三角形 B、直角非等腰三角形 C、等边三角形 D、等腰直角三角形

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5、正 $△ A B C$ 边长为 $3$ ， $M$ 、 $N$ 为线段 $B C$ 的三等分点，则 $\vec{A M} \cdot \vec{A N} =$ （）

A、 $\frac{23}{4}$ B、 $2$ C、 $\frac{13}{2}$ D、 $\frac{26}{9}$

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6、根据气象学上的标准，如果连续5天的日平均气温都低于10℃即为入冬.现将连续5天的日平均气温（单位：℃）的记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，则下列描述中，该组数据一定符合入冬指标的有（）

A、平均数小于4 B、平均数小于4且极差小于或等于3 C、平均数小于4且标准差小于或等于4 D、众数等于6且极差小于或等于4

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7、下列说法中不正确的是（）

A、三棱锥是四面体，正四面体是正三棱锥 B、平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 C、平行的线段在直观图中仍然平行 D、在同一个圆中，圆心和圆上两点可确定一个平面

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8、在复平面内，复数 $z$ 对应的点的坐标是 $(1, - 1)$ ，则 $z \cdot \bar{z} =$ （）

A、 $1$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $2$ D、 $2 \sqrt{2}$

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9、甲口袋中装有2个黑球和3个白球，乙口袋中装有5个白球. 现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复 $n$ 次这样的操作. 记甲口袋中黑球个数为 $X_{n}$ ，恰有1个黑球的概率为 $p_{n}$ ，恰有2个黑球的概率为 $q_{n}$ .

(1)、求 $p_{1} ， q_{1}$ 与 $p_{2} ， q_{2}$ ；

(2)、设 $a_{n} = p_{n} + 2 q_{n}$ ，求证：数列 $\{a_{n} - 1\}$ 是等比数列；

(3)、求 $X_{n}$ 的数学期望 $E (X_{n})$ （用 $n$ 表示）.

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10、已知函数 $f (x) = x^{2} + (1 - 2 a) x - a \ln x, a \in R$
（1）讨论函数 $f (x)$ 的单调性；
（2）若 $f (x)$ 有两个零点，求 $a$ 的取值范围.

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11、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{n} > 0$ ，且 $2 a_{n} ， 2 S_{n} ， a_{n}^{2}$ 成等差数列.

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \{\begin{matrix} a_{n} ， n 为奇数， \\ \frac{2}{a_{n} a_{n + 2}} ， n 为偶数， \end{matrix}$ 求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $2 n$ 项和 $T_{2 n}$ .

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12、为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，某电视传媒公司随机抽取了该地区100名电视观众进行调查，调查数据如下：
非体育迷
体育迷
合计
男
30
45
女
10
合计
75
100

(1)、完成上面的 $2 \times 2$ 列联表，依据 $α = 0.05$ 的独立性检验，能否认为“体育迷”与性别有关联？

(2)、五一期间，该地区电视台在某体育赛事现场直播期间开展电话连线活动，计划从该地区电视观众中随机连线5名观众，假设每位电视观众连线成功的概率均为 $p (0 < p < 1)$ ，各人是否连线成功互不影响，记连线的5名观众中恰有3人连线成功的概率为 $f (p)$ ，求 $f (p)$ 取得最大值时 $p$ 的值.
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ （其中 $n = a + b + c + d$ ）
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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13、已知函数 $f (x) = a x^{3} + b x + 8 (a, b \in R)$ 的图象在点 $(2, f (2))$ 处的切线方程为 $y = - 9 x + 24$ .

(1)、求 $a ， b$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[- 2, 3]$ 上的最大值与最小值.

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14、已知函数 $f (x) = e^{x} + sin x - 2 (a^{2} + ln a) x$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围是.

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15、长时间看手机有可能影响视力. 据调查，某校学生有 $50 %$ 的人近视，而该校有 $25 %$ 的学生每天看手机时间超过 $1 h$ ，这些人的近视率为 $80 %$ . 现从每天看手机时间不超过 $1 h$ 的学生中任意调查一名学生，则该名学生近视的概率为.

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16、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = - 1, 2 a_{n + 1} - a_{n} a_{n + 1} = 1 (n \in N^{*})$ ，则 $a_{3} =$ .

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17、设 $m$ 为正整数，数列 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{4 m + 2}$ 是公差不为 $0$ 的等差数列，若从中删去两项 $a_{i}$ 和 $a_{j} (i < j)$ 后剩余的 $4 m$ 项可被平均分为 $m$ 组，且每组的 $4$ 个数都能构成等差数列，则称数列 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{4 m + 2}$ 是 $(i, j)$ 可分数列.从 $1, 2, \dots, 4 m + 2$ 中一次任取两个数 $i$ 和 $j (i < j)$ ，记数列 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{4 m + 2}$ 是 $(i, j)$ 可分数列的概率为 $P_{m}$ ，则（）

A、数列 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{6}$ 是 $(1, 6)$ 可分数列 B、数列 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{10}$ 是 $(2, 9)$ 可分数列 C、 $P_{1} = \frac{1}{5}$ D、 $P_{2} = \frac{1}{7}$

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18、已知 ${(1 - 2 x)}^{2024} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{2024} x^{2024}$ ，则（）

A、展开式中的常数项为1 B、展开式中各项系数之和为0 C、展开式中二项式系数最大的项为第1012项 D、 $\frac{a_{1}}{2} + \frac{a_{2}}{2^{2}} + \frac{a_{3}}{2^{3}} + \dots + \frac{a_{2024}}{2^{2024}} = - 1$

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19、随机抽取5家超市，得到其广告支出 $x$ （万元）与销售额 $y$ （万元）的数据如下：
超市
A
B
C
D
$E$
广告支出 $x$
2
4
5
6
8
销售额 $y$
30
40
60
60
70
下列说法正确的是（）
（参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ；参考数据： $\sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i} = 1440 ， \sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2} = 145$ ）

A、经验回归直线经过点 $(5, 60)$ B、经验回归方程为 $\hat{y} = 7 x + 17$ C、样本点 $(8, 70)$ 的残差为 $- 3$ D、预测广告支出10万元时的销售额为80万元

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20、已知函数 $f (x) = x^{a} - {log}_{b} x (a > 0, b > 0, b \neq 1)$ ，若 $f (x) \geq 1$ 恒成立，则 $a b^{2}$ 的最小值为（）

A、 $e$ B、 $2 e$ C、 $e^{2}$ D、 $2 e^{2}$

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	非体育迷	体育迷	合计
男	30		45
女		10
合计	75		100

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

超市	A	B	C	D	$E$
广告支出 $x$	2	4	5	6	8
销售额 $y$	30	40	60	60	70