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相关试卷

1、已知小王4次月考的数学成绩分别为125，116，120，131，则这些成绩的第75百分位数是（）

A、122.5 B、125 C、128 D、131

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2、给出下列四个结论：
①经过两条相交直线，有且只有一个平面；
②经过两条平行直线，有且只有一个平面；
③经过三点，有且只有一个平面；
④经过一条直线和一个点，有且只有一个平面.
其中正确结论的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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3、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a = 2, c = 1, B = 60^{\circ}$ ，则 $A =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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4、已知复数 $z$ 满足 $z i = 1 - 2 i$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $2 + i$ B、 $- 2 + i$ C、 $- 2 - i$ D、 $2 - i$

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5、设函数 $f (x) = e^{x} - a \ln x$ ．

(1)、当 $a = 1$ ，求 $f (x)$ 在点 $(1, e)$ 处的切线方程；

(2)、证明：当 $a > 0$ 时， $f (x) \geq 2 a - a \ln a$ ；

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6、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 及直线 $l : x - y + t = 0$ ．

(1)、若直线 $l$ 与椭圆没有公共点，求实数 $t$ 的取值范围；

(2)、 $P$ 为椭圆 $C$ 上一动点，若点 $P$ 到直线 $l$ 距离的最大值为 $6 \sqrt{2}$ ，求直线 $l$ 的方程．

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7、随着网络技术的迅速发展，各种购物群成为网络销售的新渠道.2023年11月某地脐橙开始采摘上市，一脐橙基地随机抽查了100个购物群的销售情况，各购物群销售脐橙的情况如下：
脐橙数量/盒
$[100, 200)$
$[200, 300)$
$[300, 400)$
$[400, 500)$
$[500, 600]$
购物群数量/个
12
18
$m$
32
18

(1)、求实数 $m$ 的值.并用组中值（每组的中点值）估计这100个购物群销售脐橙总量的平均数；

(2)、假设所有购物群销售脐橙的数量 $X ~ N (μ, σ^{2})$ ，其中 $μ$ 为（1）中的平均数， $σ^{2} = 14400$ .若该脐橙基地参与销售的购物群约有1000个，销售的脐橙在 $[256, 616)$ （单位：盒）内的群为“ $A$ 级群”，销售数量小于256盒的购物群为“ $B$ 级群”，销售数量不小于616盒的购物群为“特级群”，该脐橙基地对每个“特级群”奖励600元，每个“ $A$ 级群”奖励100，对“ $B$ 级群”不奖励，则该脐橙基地大约需要准备多少奖金？（群的个数按四舍五入取整数）
附：若 $X ~ N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ \leq X < μ + σ) \approx 0.683$ ， $P (μ - 2 σ \leq X < μ + 2 σ) \approx$ $0.954$ ， $P (μ - 3 σ \leq X < μ + 3 σ) \approx 0.997$ .

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8、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是圆柱底面圆的内接矩形， $P A$ 是圆柱的母线， $P A = A D = 2$ ， $A B = 1$ .

(1)、证明：平面 $P C D ⊥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求平面 $P B C$ 与平面 $P C D$ 的夹角的余弦值.

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9、设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点，以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆与双曲线在第一象限交于点 $P$ ，且 $|P F_{1}| = 3 |P F_{2}|$ ，则双曲线C的离心率为.若 $△ P F_{1} F_{2}$ 内切圆圆心I的横坐标为2，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为.

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10、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，点 $P$ 在截面 $B_{1} C D_{1}$ 内，且 $|P C_{1}| = \frac{\sqrt{5}}{3}$ ，则（）

A、三棱锥 $P - A_{1} B D$ 的体积为 $\frac{1}{6}$ B、线段 $P A$ 的长为 $\frac{\sqrt{10}}{3}$ C、点 $P$ 的轨迹长为 $\frac{\sqrt{2}}{3} π$ D、 $\vec{P A} \cdot \vec{P C}$ 的最大值为 $\frac{5}{9}$

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11、若 $M$ ， $N$ 分别是双曲线 $C$ ： $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的右支和圆 $D$ ： ${(x - 5)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ 上的动点，且 $F$ 是双曲线 $C$ 的右焦点，则 $|M N| + |M F|$ 的最小值为（）

A、 $5 \sqrt{2} - 3$ B、 $5 \sqrt{2} - 2$ C、 $3 \sqrt{2} - 2$ D、 $3 \sqrt{2} - 1$

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12、通辽是“最美中国文化旅游城市”，境内旅游资源丰富，自然景观优美，其中的大青沟，孝庄园文化旅游区，珠日河草原旅游区，库伦三大寺，孟家段国家湿地公园，银沙湾，可汗山都是风景宜人的旅游胜地，某班4个同学分别从7处风景点中选择一处进行旅游观光，则不同的选择方案是（）

A、 $C_{7}^{4}$ 种 B、 $A_{7}^{4}$ 种 C、 $4^{7}$ 种 D、 $7^{4}$ 种

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13、已知等比数列 $\{a_{n}\}, S_{n}$ 是其前 $n$ 项和， $S_{2} = 3 a_{2}$ ，则 $\frac{S_{3}}{a_{3}} =$ （）

A、 $\frac{7}{2}$ B、8 C、7 D、14

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14、已知 $\bar{z} = 1 - \frac{z}{1 + i}$ ，则复数 $z =$ （）

A、 $2 + i$ B、 $2 - i$ C、 $1 - i$ D、 $- 1 + i$

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15、已知正实数a，b满足 $2 a + b = 6$ ，则 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b + 2}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{9}{8}$ D、 $\frac{9}{4}$

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16、对于平面向量 ${\vec{x}}_{i}$ （ $i = 1, 2, \dots, m, m ⩾ 3$ 且 $m \in N$ ），记 $Ω_{m} = \{{\vec{x}}_{1}, x_{2}, \dots, {\bar{x}}_{m}\}, {\vec{S}}_{m} = {\vec{x}}_{1} + {\vec{x}}_{2} + \dots + {\vec{x}}_{m}$ ，若存在 ${\vec{x}}_{p} (p \in {1, 2, \dots, m})$ ，使得 $|{\vec{x}}_{p}| ⩾ |{\vec{S}}_{m} + k {\vec{x}}_{p}|, k \in Z$ ，则称 ${\vec{x}}_{p}$ 是 $Ω_{m}$ 的“k向量”．

(1)、设 ${\vec{x}}_{n} = (n, l - n), n \in N^{*}$ ，若 ${\vec{x}}_{3}$ 是 $Ω_{3}$ 的“ $- 3$ 向量”，求实数 $l$ 的取值范围；

(2)、若 ${\vec{x}}_{n} = (\cos \frac{2 n π}{3}, \sin \frac{2 n π}{3}), n \in N^{*}$ ，则 $Ω_{3 i + 1} (i \in N^{*})$ 是否存在“1向量”？若存在，求出“1向量”；若不存在，请说明理由；

(3)、已知 ${\vec{x}}_{1}, {\vec{x}}_{2}, {\vec{x}}_{3}$ 均为 $Ω_{3}$ 的“ $- 1$ 向量”，其中 ${\vec{x}}_{1} = (\cos x, - 5 \sin x), {\vec{x}}_{2} = (2 \cos x, \sin x)$ ．设平面直角坐标系 $x O y$ 中的点列 $P_{1}, P_{2}, \dots, P_{t} (t \in N^{*}, t ⩾ 3)$ 满足 $\vec{P_{1} P_{2}} = {\vec{x}}_{3}$ （ $P_{1}$ 与原点O重合），且 $P_{2 k}$ 与 $P_{2 k + 1} (k \in N^{*})$ 关于点 $P_{1}$ 对称， $P_{2 k + 1}$ 与 $P_{2 k + 2}$ 关于点 $P_{2}$ 对称．求 $|\vec{P_{99} P_{100}}|$ 的取值范围．

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17、某高中为了激发学生参加科技创新实践活动的热情，决定举办两场“创新追梦”知识竞赛．规定每位参赛选手均须参加两场比赛，若其在两场比赛中均胜出，则视为赢得比赛．已知高二（1）班选出甲、乙两名选手参加比赛，在第一场比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为 $\frac{3}{4}, \frac{5}{6}$ ，在第二场比赛中，甲、乙胜出的概率分别为 $\frac{4}{5}, \frac{2}{3}$ ．甲、乙两人在每场比赛中是否胜出互不影响．

(1)、甲、乙两人中，谁参赛赢得比赛的概率更大？

(2)、求甲、乙两人中至少有一人赢得比赛的概率．

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18、已知 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ，其中， $a = 4 \sqrt{2}, \tan A = 2 \sqrt{2}$ ．

(1)、求 $△ A B C$ 的外接圆半径；

(2)、求 $△ A B C$ 周长的最大值．

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19、已知函数 $f (x) = a^{x} + b$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象经过点 $(2, 3)$ ，函数 $g (x) = \log_{a} (x^{2} - b x + \frac{9}{4})$ 的图象经过点 $(\frac{1}{2}, 2)$ ．

(1)、求 $a, b$ 的值；

(2)、求函数 $g (x)$ 的单调递增区间．

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20、已知在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $A = 60 °, b = 3 c, a = 2 \sqrt{7}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为．

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脐橙数量/盒	$[100, 200)$	$[200, 300)$	$[300, 400)$	$[400, 500)$	$[500, 600]$
购物群数量/个	12	18	$m$	32	18