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相关试卷

1、已知向量 $\vec{m} = (\cos x, \sin x), \vec{n} = (\cos x, - \sin x)$ ，函数 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n} + \frac{1}{2}$ ．

(1)、若 $f (\frac{x}{2}) = 1, x \in (0, π)$ ，求 $tan (x + \frac{π}{4})$ 的值；

(2)、若 $f (α) = - \frac{1}{10}, α \in (\frac{π}{2}, \frac{3 π}{4}), sin β = \frac{7 \sqrt{2}}{10}, β \in (0, \frac{π}{2})$ ，求 $2 α + β$ 的值；

(3)、设 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 $b = 2$ ，且锐角B满足 $f (B) = 0$ ，求 $a + c$ 的取值范围．

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2、（1）叙述并证明平面与平面平行的性质定理；
（2）设 $α$ ， $β$ 是两个不同的平面， $m$ ， $n$ 是平面 $α$ ， $β$ 之外的两条不同直线，给出四个论断：① $α ⊥ β$ ；② $m ⊥ n$ ；③ $m ⊥ α$ ；④ $n ⊥ β$ ．以其中三个论断作为条件，余下一个作为结论，写出一个正确的命题，并证明．

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3、本学期初，某校对全校高一学生进行数学测试（满分100），并从中随机抽取了100名学生的成绩，以此为样本，分 $[50, 60), [60, 70), [70, 80), [80, 90), [90, 100]$ 五组，得到如图所示频率分布直方图．

(1)、求a的值，并估计该校高一学生数学成绩的平均数和 $85 %$ 分位数；

(2)、为进一步了解学困生的学习情况，从上述数学成绩低于70分的学生中，分层抽样抽出6人，再从6人中任取2人，求此2人分数都在 $[60, 70)$ 的概率．

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4、已知 $|\overset{⃑}{a}| = 4, |\overset{⃑}{b}| = 8$ ， $\overset{⃑}{a}$ 与 $\overset{⃑}{b}$ 的夹角是 $120^{\circ}$ .

(1)、求 $\overset{⃑}{a} \cdot \overset{⃑}{b}$ 的值及 $|\overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b}|$ 的值；

(2)、当 $k$ 为何值时， $(\overset{⃑}{a} + 2 \overset{⃑}{b}) ⊥ (k \overset{⃑}{a} - \overset{⃑}{b})$ ？

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5、滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而名传千古，流芳后世.如图，在滕王阁旁地面上共线的三点 $A$ ， $B$ ， $C$ 处测得阁顶端点 $P$ 的仰角分别为 $30^{\circ}$ ， $60^{\circ}$ ， $45^{\circ}$ .且 $A B = B C = 75$ 米，则滕王阁高度 $O P =$ 米.

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6、某科研攻关项目中遇到一个问题，请了甲、乙两位专家单独解决此问题，若甲、乙能解决此问题的概率分别为m，n，则此问题被解决的概率为

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7、已知复数z的模为2，则 $|z - i|$ 的最大值为．

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8、有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）

A、甲与丙相互独立 B、甲与丁相互独立 C、丙与丁相互独立 D、乙与丙不相互独立

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9、台球运动已有五、六百年的历史，参与者用球杆在台上击球．若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律．如图，有一张长方形球台ABCD，其中 $A D = \frac{3}{5} A B$ ，现从角落A沿角α的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落C的球袋中，则 $\tan α$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{9}{5}$ D、 $\frac{3}{2}$

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10、若正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的内切球的表面积为 $16 π$ ，则此正方体最多可容纳半径为1的小球的个数为（）

A、7个 B、8个 C、9个 D、10个

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11、三人被邀请参加一个晚会，若晚会必须有人去，去几人自行决定，则恰有一人参加晚会的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{7}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{3}{8}$

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12、已知向量 $\vec{a} = (1, - 2)$ ， $\vec{b} = (x, 3)$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $x =$ （）

A、 $- \frac{3}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $- 6$ D、6

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13、已知i是虚数单位，则复数 $i^{5} - \frac{2 i}{1 + i} =$ （）

A、-1 B、i C、 $- i$ D、1

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14、某省为全运会选拔跳水运动员，对某运动员进行测试，在运动员跳完一个动作之后由7名裁判打分，统计结果为平均分9.5分，方差为a，为体现公平，裁判委员会决定去掉一个最高分10分，一个最低分9分，则（）

A、平均分变大，方差变大 B、平均分变小，方差变小 C、平均分不变，方差变大 D、平均分不变，方差变小

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15、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $C = \frac{π}{3}$ .

(1)、若 $B C = 3, A C = 1, ∠ B C A$ 的内角平分线交 $A B$ 于点 $D$ ，求 $C D$ 的长；

(2)、若 $∠ B A C$ 与 $∠ A B C$ 的内角平分线相交于点 $O, △ A B C$ 的外接圆半径为2，求 $A O + B O$ 的最大值.

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16、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C, A B = 2 A C, ∠ A B C = 30^{°}, D, E$ 分别为棱PC，PB的中点.

(1)、求证：平面 $P A C ⊥$ 平面 $A D E$ ；

(2)、若 $P A = A C$ ，求二面角 $E - A C - B$ 的大小.

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17、已知向量 $\vec{a} = (\cos x + \sin x, \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = (\cos x - \sin x, \sin 2 x)$ ， $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的值域；

(2)、求函数 $f (x)$ 图象的对称中心坐标和对称轴方程．

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18、已知 $A B$ 是球O的直径， $A B = 4$ ， C，D是球面上两点， $C D ⊥ A B$ ， $C D = 2$ ， $A B$ 与平面 $C O D$ 所成的角为 $60^{\circ}$ ，则四面体 $A B C D$ 的体积为.

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19、已知 $α \in (0, π)$ ， $\tan 2 α = \frac{\sin α}{1 + \cos α}$ ，则 $α =$ ．

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20、某市场有四类食品，其中粮食类、蔬菜类、肉类和水果类分别有10种、20种、20种和50种，现在从中抽取一个容量为50的样本进行食品安全检测，若采用按比例分配的分层抽样的方法抽取样本，则抽取的粮食类和水果类的样本数之和为．

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