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相关试卷

1、已知直线 $l$ 的方向向量为 $\overset{⃑}{e} = (- 1, 1, 2)$ ，平面 $α$ 的法向量为 $\overset{⃑}{n} = (\frac{1}{2}, 2 λ, - 1) (λ \in R)$ 若 $l ⊥ α$ ，则实数 $λ$ 的值为.

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2、马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行 $n (n \in N^{*})$ 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为 $X_{n}$ ，恰有1个黑球的概率为 $p_{n}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $p_{1} = \frac{5}{9}$ B、 $P (X_{1} = 2) = \frac{1}{6}$ C、数列 $\{p_{n} - \frac{3}{5}\}$ 是等比数列 D、 $X_{n}$ 的数学期望 $E (X_{n}) = 1$

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3、设离散型随机变量X的分布列如下表，若离散型随机变量Y满足 $Y = 2 X - 1$ ，则下列结果正确的是（）
X
0
1
2
3
4
P
$q$
0.4
0.1
0.2
0.2

A、 $q = 0.2$ B、 $E (X) = 2$ ， $D (X) = 1.8$ C、 $E (X) = 2$ ， $D (X) = 1.4$ D、 $E (Y) = 3$ ， $D (Y) = 7.2$

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4、已知在体能测试中，某校学生的成绩服从正态分布 $N (70, 16)$ ，其中60分为及格线，则下列结论中正确的有（）（附：随机变量 $ξ \sim N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - 2 σ < ξ < μ + 2 σ) = 0.9545$

A、该校学生成绩的均值为70 B、该校学生成绩的标准差为4 C、该校学生成绩的标准差为16 D、该校学生成绩及格率超过95%

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5、甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用七局四胜制，先赢四局者获胜，没有平局、甲每局赢的概率为 $\frac{1}{2}$ ，已知前两局甲输了，则甲最后获胜的概率为（）

A、 $\frac{1}{16}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、 $\frac{3}{16}$ D、 $\frac{1}{4}$

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6、已知二面角 $α - l - β$ ，其中平面 $α$ 的一个法向量 $\overset{⇀}{m} = (1, 0, - 1)$ ，平面 $β$ 的一个法向量 $\overset{⇀}{n} = (0, - 1, 1)$ ，则二面角 $α - l - β$ 的大小可能为(　　 )

A、 $60^{\circ}$ B、 $120^{\circ}$ C、 $60^{\circ}$ 或 $120^{\circ}$ D、 $135^{\circ}$

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7、已知函数 $f (x) = e^{x} + k x$ 在 $x = 0$ 处有极值，则 $k =$ （）

A、 $- 1$ B、 $0$ C、 $1$ D、 $e$

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8、已知随机变量 $X$ 服从两点分布， $E (X) = 0.7$ ，则其成功概率为（）

A、0 B、1 C、0.3 D、 $0.7$

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9、下列各关系不属于相关关系的是（）

A、产品的样本与生产数量 B、球的表面积与体积 C、家庭的支出与收入 D、人的年龄与体重

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10、某高校在2014年自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组 $[75$ ， $80)$ ，第2组 $[80$ ， $85)$ ，第3组 $[85$ ， $90)$ ，第4组 $[90$ ， $95)$ ，第5组 $[95$ ， $100]$ 得到的频率分布直方图如图所示．
（1）分别求第3，4，5组的频率；
（2）若该校决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，
（ⅰ）已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学生甲和学生乙恰有一人进入第二轮面试的概率；
（ⅱ）学校决定在这已抽取到的6名学生中随机抽取2名学生接受考官 $L$ 的面试，设第4组中有 $ξ$ 名学生被考官 $L$ 面试，求 $ξ$ 的分布列和数学期望．

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11、已知函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} - 3 x$ 在 $x = - 1$ 和 $x = 3$ 处取得极值.

(1)、求 $a, b$ 的值：

(2)、求 $y = f (x)$ 在区间 $[- 4, 4]$ 上的最大值.

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12、如图，在棱长为4的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $M$ 是 $B C$ 的中点.

(1)、求证： $A B_{1} ⊥ A_{1} M$ ；

(2)、求二面角 $B - A_{1} M - C_{1}$ 的大小.

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13、在A，B，C三地爆发了流感，这三个地区分别为6%，5%，4%的人患了流感.设这三个地区人口数的比为3∶1∶1，现从这三个地区中任选一人，这个人患流感的概率是.

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14、函数 $f (x) = ln (2 x + 1)$ 的导函数为．

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15、 $\vec{ν}$ 为直线 $l$ 的方向向量， $\vec{n_{1}}$ 和 $\vec{n_{2}}$ 分别为平面 $α$ 与 $β$ 的法向量（ $α$ 与 $β$ 不重合， $l ⊄ α$ ），下列说法：① $\vec{n_{1}} ∥ \vec{n_{2}} \Leftrightarrow α ∥ β$ ；② $\vec{n_{1}} ⊥ \vec{n_{2}} \Leftrightarrow α ⊥ β$ ；③ $\vec{ν} ∥ \vec{n_{1}} \Leftrightarrow l ∥ α$ ；④ $\vec{ν} ⊥ \vec{n_{1}} \Leftrightarrow l ∥ α$ ．其中正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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16、统计某位篮球运动员的罚球命中率，罚中一次的概率是 $\frac{4}{5}$ ，连续罚中两次的概率是 $\frac{3}{5}$ .已知这位篮球运动员第一次罚球命中，则第二次罚球也命中的概率是（）

A、 $\frac{12}{25}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{7}{5}$

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17、对两个变量的三组数据进行统计，得到以下散点图，关于两个变量相关系数的比较，正确的是（）

A、 $r_{1} > r_{2} > r_{3}$ B、 $r_{2} > r_{3} > r_{1}$ C、 $r_{1} > r_{3} > r_{2}$ D、 $r_{3} > r_{2} > r_{1}$

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18、已知某市高三共有20000名学生参加二模考试，统计发现他们的数学分数 $X$ 近似服从正态分布 $N (105, 100)$ ，据此估计，该市二模考试数学分数 $X$ 介于75到115之间的人数为（）
参考数据：若 $X \sim N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X < μ + σ) \approx 0.6827, P (μ - 2 σ < X < μ + 2 σ) \approx 0.9545, P (μ - 3 σ < X < μ + 3 σ) \approx 0.9973$ .

A、13272 B、16372 C、16800 D、19518

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19、已知 $\vec{a} = (2, 0, 3)$ ， $\vec{b} = (- 2, 2, x)$ ，且 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则 $x =$ （）

A、 $- \frac{5}{3}$ B、 $- 3$ C、 $\frac{5}{3}$ D、3

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20、如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为1的正方形， $S A = S B = 2$ ， $E$ 、 $F$ 分别是 $S C$ 、 $B D$ 的中点.

(1)、求证： $E F / /$ 平面 $S A B$ ；

(2)、若二面角 $S - A B - D$ 的大小为 $\frac{π}{2}$ ，
（ⅰ）求 $S A$ 与 $B D$ 所成角的余弦值；
（ⅱ）求直线 $S D$ 与平面 $A B C D$ 所成角的大小.

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X	0	1	2	3	4
P	$q$	0.4	0.1	0.2	0.2