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相关试卷

1、“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和，则下列命题中正确的是（）

A、在“杨辉三角”中，第 $n$ 行的所有的数字之和为 $2^{n}$ B、在“杨辉三角”第 $2 n$ 行的数中，从左到右第 $n$ 个数最大 C、在“杨辉三角”中，从第3行开始，取每行的第4个数得到一数列，则该数列前10项之和为 $C_{13}^{4}$ D、记“杨辉三角”第 $n$ 行的第 $i$ 个数为 $a_{i}$ ，则 $\sum_{i = 1}^{n + 1} a_{i} \cdot a_{n + 2 - i}$ 的值恰好是第 $2 n$ 行的中间一项的数字

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2、已知函数 $f (x) = sin x + cos x + |sin x - cos x|$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的图象关于点 $(π, 0)$ 对称 B、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ C、 $f (x)$ 的最小值为 $- 2$ D、 $f (x) = \sqrt{3}$ 在 $[0, 2 π]$ 上有四个不同的实数解

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3、为了解目前本市高二学生身体素质状况，对某校高二学生进行了体能抽测，得到学生的体育成绩 $X ~ N (70, 100)$ ，其中60分及以上为及格，90分及以上为优秀，则下列说法正确的是（）
参考数据：随机变量 $ξ ~ N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < ξ < μ + σ) = 0.6826$ ， $P (μ - 2 σ < ξ < μ + 2 σ) = 0.9544$ ， $P (μ - 3 σ < ξ < μ + 3 σ) = 0.9974$ .

A、该校学生体育成绩的方差为100 B、该校学生体育成绩的期望为70 C、该校学生体育成绩不及格的人数和优秀的人数相当 D、该校学生体有成绩的及格率不到 $85 %$

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4、若函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2} + 3 a x + a - 1, x < 1, \\ x^{a} + ln (x + e - 1), x \geq 1 \end{array}$ 在 $R$ 上单调递增，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{2}{3}, 1]$ B、 $[\frac{2}{3}, 2]$ C、 $[\frac{1}{3}, 2]$ D、 $(- \infty, \frac{2}{3}) \cup (1, + \infty)$

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5、计算： $\frac{2 i}{2 - i} =$ （）

A、 $\frac{2}{3} + \frac{4}{3} i$ B、 $- \frac{2}{3} + \frac{4}{3} i$ C、 $\frac{2}{5} + \frac{4}{5} i$ D、 $- \frac{2}{5} + \frac{4}{5} i$

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6、设 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $D$ 是边 $B C$ 的中点， $△ A B C$ 的面积为1，且 $(b + \sqrt{3} c) \sin B = (a + c) (\sin A - \sin C)$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、求 $\vec{A B} \cdot (\vec{D A} + \vec{D B})$ 的值.

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7、 $\cos 15 ° \cos 45 ° + \sin 15 ° \sin 45 ° =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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8、已知抛物线 $C$ ： $y = \frac{1}{4} x^{2}$ 的焦点为 $F$ ， $P$ 为 $C$ 上一点，下列说法正确的是（）

A、 $C$ 的准线方程为 $y = - \frac{1}{16}$ B、直线 $y = x - 1$ 与 $C$ 相切 C、若 $M (0, 4)$ ，则 $|P M|$ 的最小值为 $2 \sqrt{3}$ D、若 $M (3, 5)$ ，则 $△ P M F$ 的周长的最小值为11

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9、定义：若函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 在公共定义域内存在 $x_{0}$ ，使得 $f (x_{0}) + g (x_{0}) = 0$ ，则称 $f (x)$ 与 $g (x)$ 为“契合函数”， $x_{0}$ 为“契合点”．

(1)、若 $f (x) = - \ln x - 1$ 与 $g (x) = a x$ 为“契合函数”，且只有一个“契合点”，求实数a的取值范围．

(2)、若 $p (x) = e^{x} - x \ln x$ 与 $q (x) = b x - 1$ 为“契合函数”，且有两个不同的“契合点” $x_{1}, x_{2}$ ．
①求b的取值范围；
②证明： $x_{1} x_{2} < 1$ ．

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10、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点， $A$ 是 $C$ 的右顶点，且 $|A F_{1}| = 3$ ， $|A F_{2}| = 1$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、 $P$ 是 $C$ 上一点，且 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{3}$ ，求 $△ F_{1} P F_{2}$ 的面积；

(3)、已知 $M$ ， $N$ 是 $C$ 上不同的两点，直线 $A M$ ， $A N$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，且 $k_{1} k_{2} = 3$ ，证明：直线 $M N$ 过定点.

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11、正比例手办是按照动漫角色的一定比例制作的手办，细节丰富，高度还原角色形象.已知某店内共有20个正比例手办，其中有8个正比例手办采用树脂材质制成，有12个正比例手办采用PVC材质制成，树脂材质的正比例手办中有2个是 $\frac{1}{4}$ 比例手办，6个是 $\frac{1}{8}$ 比例手办，PVC材质的正比例手办中有4个是 $\frac{1}{4}$ 比例手办，8个是 $\frac{1}{8}$ 比例手办.该店举行了一个抽奖活动，将这20个正比例手办编号为1，2，3，…20，盒子内有编号分别为1，2，3，…，20的20张小纸条，消费者抽到编号为 $i (i = 1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, 20)$ 的纸条即视为抽到编号为i的正比例手办，消费者一次性从盒子内随机抽取2张纸条，每位消费者只有一次机会.

(1)、记事件 $A$ 为“消费者小曲抽到的2个正比例手办的材质与比例均相同”，求 $P (A)$ ；

(2)、若消费者抽到的2个正比例手办的材质与比例均不相同，则无奖励；若仅材质或仅比例相同，则奖励100元；若材质与比例均相同，则奖励200元.记消费者小曲获得的奖金金额为 $η$ 元，请写出 $η$ 的分布列及期望.

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12、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ 满足 $2 S_{n} = 3 n^{2} - k n, k$ 为常数，且 $S_{4} = 22$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = a_{n} \times 2^{n}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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13、如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = 3 A B = 6$ ， $D$ 为 $C C_{1}$ 的中点．

(1)、求点 $B$ 到直线 $A_{1} D$ 的距离；

(2)、求异面直线 $A B_{1}$ 与 $B D$ 所成角的余弦值．

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14、《九章算术•商功》中，将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵.在堑堵 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A_{1} B = 3 \sqrt{2}$ ， $A B = A C$ ，则堑堵 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 体积的最大值为.

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15、设随机变量 $ξ \sim B (3, p)$ ，且 $P (ξ = 1) = 5 P (ξ = 2)$ ，则 $p =$ ；若随机变量 $η$ 满足 $ξ = \frac{1}{2} η + 1$ ，则 $η$ 的方差为.

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16、某林业科学院培育新品种草莓，新培育的草莓单果质量 $ξ$ （单位：g）近似服从正态分布 $N (50, 4)$ ，现有该新品种草莓10000个，估计其中单果质量超过 $52g$ 的草莓有个．
附：若 $X ~ N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X \leq μ + σ) = 0.6826, P (μ - 2 σ < X \leq μ + 2 σ) = 0.9544$ ．

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17、已知曲线 $C : x^{2} y + \frac{y^{3}}{5} = y$ ，点 $F_{1} (0, - 2), F_{2} (0, 2)$ ，则（）

A、当P为C上的动点时， $|P F_{1}| + |P F_{2}|$ 的取值范围是 $[4, + \infty)$ B、当P为C上的动点时， $||P F_{1}| - |P F_{2}||$ 的取值范围是 $[0, 4]$ C、存在直线 $l : y = m x - 3 (m > 3)$ ，使得l与C的所有交点的横坐标可以构成等比数列 D、存在直线 $l : y = m x - 3 (m > 2)$ ，使得l与C的所有交点的横坐标之和为 $\frac{7}{m}$

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18、某兴趣小组调查了某校100名学生100米短跑成绩的情况，其中有60名学生的短跑成绩合格.这100名学生中有45名学生每周的锻炼时间超过5小时，60名短跑成绩合格的学生中有35名学生每周的锻炼时间超过5小时.现对短跑成绩不合格的学生进行跑步技巧培训，已知每周的锻炼时间超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为 $\frac{5}{6}$ ，每周的锻炼时间不超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为 $\frac{3}{4}$ .用频率代替概率，从短跑成绩不合格的学生中随机抽取1名学生（记为甲）进行跑步技巧培训，依据小概率 $α = 0.005$ 的 $χ^{2}$ 独立性检验，零假设为 $H_{0}$ ：学生短跑成绩合格与每周锻炼时间相互独立，则下列结论正确的是（）
参考公式与数据： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
$α$
0.01
0.005
0.001
$x_{a}$
6.635
7.879
10.828

A、可以推断 $H_{0}$ 成立，即认为学生短跑成绩合格与每周锻炼时间超过5小时无关 B、可以推断 $H_{0}$ 不成立，即认为学生短跑成绩合格与每周锻炼时间超过5小时有关 C、学生甲参加培训后短跑成绩合格的概率为 $\frac{37}{48}$ D、学生甲参加培训后短跑成绩合格的概率为 $\frac{27}{37}$

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19、已知各项均为正数的等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前4项和为30，且 $a_{4} = 3 a_{2} + 2 a_{1}$ ，则（）

A、 $a_{1} = 2$ B、公比为2 C、 $a_{2} = 8$ D、 $a_{3} = 8$

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20、若 ${(x - 1)}^{n} (n \in N^{*})$ 的展开式各项系数的绝对值之和为512，则 ${(x + 1)}^{8} {(x - 1)}^{n}$ 的展开式中 $x^{11}$ 的系数为（）

A、 $- 56$ B、56 C、 $- 70$ D、70

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$α$	0.01	0.005	0.001
$x_{a}$	6.635	7.879	10.828