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相关试卷

1、下列命题正确的是（）

A、若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $\vec{a} = - 3 \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 为平行向量 B、若 $△ A B C$ 是等边三角形，则 $⟨\vec{A B}, \vec{B C}⟩ = \frac{2π}{3}$ C、模等于1个单位长度的向量是单位向量，所有单位向量均相等 D、已知平面内的一组基底 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ ，则向量 $\vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ ， $\vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ 也能作为一组基底

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2、若 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（）

A、若 $b^{2} + c^{2} - a^{2} > 0$ ，则 $△ A B C$ 为锐角三角形 B、若 $a \cos A = b \cos B$ ，则此三角形为等腰三角形 C、若 $a > b$ ，则 $\sin A$ 与 $\sin B$ 大小无法确定 D、若 $△ A B C$ 是锐角三角形，则 $\sin A + \sin B > \cos A + \cos B$

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3、在 $△ A B C$ 中，点 $P$ 是 $A B$ 上一点，且 $\vec{C P} = \frac{2}{3} \vec{C A} + \frac{1}{3} \vec{C B}$ ， $Q$ 是 $B C$ 中点， $A Q$ 与 $C P$ 交点为 $M$ ，又 $\vec{C M} = t \vec{C P}$ ，则 $t =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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4、在 $△ A B C$ 中， $A = 60 °$ ， $A C = 1$ ，其面积为 $\sqrt{3}$ ，则 $B C =$ （）

A、 $\frac{9}{2}$ B、 $\sqrt{13}$ C、13 D、 $\frac{\sqrt{87}}{4}$

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5、如图，向量 $\overset{⇀}{e_{1}}$ ， $\overset{⇀}{e_{2}}$ ， $\overset{⇀}{a}$ 的起点与终点均在正方形网格的格点上，若 $\overset{⇀}{a} = λ \overset{⇀}{e_{1}} + μ \overset{⇀}{e_{2}}$ ，则 $λ + μ =$

A、 $- 1$ B、3 C、1 D、 $- 3$

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6、复数 $- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ 的三角形式是（）

A、 $cos 60^{\circ} + isin 60^{\circ}$ B、 $- cos 60^{\circ} + isin 60^{\circ}$ C、 $cos 120^{\circ} + isin 60^{\circ}$ D、 $cos 120^{\circ} + isin 120^{\circ}$

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7、函数 $f (x) = 2^{x} - \frac{1}{x}$ 的零点所在的区间可能是（）

A、 $(1, + \infty)$ B、 $(\frac{1}{2}$ ， $1)$ C、 $(\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{2})$ D、 $(\frac{1}{4}$ ， $\frac{1}{3})$

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8、已知点 $P (x_{0}, y_{0})$ 是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{5} - y^{2} = 1$ 上任意一点．

(1)、求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；

(2)、已知点 $A (4, 0)$ ，求 $|P A|$ 的最小值．

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9、如图，矩形 $A B C D$ 是圆柱 $O^{'} O$ 的轴截面， $A B = 4, A D = 2 \sqrt{2}, E, F$ 分别是上、下底面圆周上的点，且 $C F ∥ A E$ ．

(1)、求证： $D F ∥ B E$ ；

(2)、若四边形 $B E D F$ 为正方形，求平面 $A B F$ 与平面 $A D E$ 夹角的正弦值

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10、已知 $A, B, F$ 分别是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右顶点，上顶点和右焦点，若过 $A, B, F$ 三点的圆恰与 $y$ 轴相切，则 $C$ 的离心率为．

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11、在梯形 $A B C D$ 中， $A B // C D, A B = 1, C D = 3, cos ∠ D A C = \frac{\sqrt{2}}{4}, cos ∠ A C D = \frac{3}{4}$ ，则（）

A、 $A D = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ B、 $cos ∠ B A D = - \frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $\vec{B A} \cdot \vec{A D} = - \frac{3}{4}$ D、 $A C ⊥ B D$

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12、造型可以看作图中曲线C的一部分，已知C过坐标原点O，且C上的点满足横坐标大于 $- 1$ ，到点 $F (1 ， 0)$ 的距离与到定直线 $x = a (a < 0)$ 的距离之积为 $1.$

(1)、求a的值；

(2)、当点 $(x_{0} ， y_{0})$ 在C上时，求证： $y_{0} \geq \frac{- 1}{x_{0} + 1};$

(3)、如图，过点F作两条互相垂直的弦，分别交曲线C于 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ ， $A_{1} (x_{3} ， y_{3})$ ， $B_{1} (x_{4} ， y_{4})$ ，其中 $x_{i} \geq 0 (i = 1 ， 2 ， 3 ， 4)$ ，求四边形 $A A_{1} B B_{1}$ 面积的最小值.

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13、已知 $\{a_{n}\}$ 为等差数列， $a_{2} = 6$ ， $a_{5} = 15$ ，记 $b_{n} = a_{3^{n}} (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、在 $b_{n}$ 与 $b_{n + 1}$ 之间插入n个数，使这 $n + 2$ 个数组成一个公差为 $d_{n}$ 的等差数列，
（i）求数列 ${\frac{1}{d_{n}}}$ 的前n项和 $T_{n};$
（ii）在数列 $\{d_{n}\}$ 中是否存在3项 $d_{m}$ ， $d_{k}$ ， $d_{p} ($ 其中m，k，p成等差数列 $)$ 成等比数列?若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由.

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14、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的渐近线方程为 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$ ，点 $P (2, 1)$ 在双曲线C上.

(1)、求C的方程；

(2)、过点 $M (- 1, 0)$ 的直线l交双曲线C的左支于A，B两点，记直线PA，PB的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，是否存在常数 $λ$ ，使得 $k_{1} + k_{2} = λ k_{1} k_{2}$ 恒成立?若存在，求 $λ$ 的值；若不存在，请说明理由.

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15、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B A C = \frac{π}{2}$ ， $A B = A C = 2$ ， $B B_{1} = 3$ ， E为 $A B$ 的中点，点F满足 $\vec{C F} = λ \vec{C C_{1}}$ ，其中 $λ \in (0, 1)$

(1)、若 $E F / /$ 平面 $A_{1} B C_{1}$ ，求 $λ$ 的值；

(2)、当 $λ = \frac{1}{3}$ 时，求平面 $A_{1} B C_{1}$ 与平面 $A E F$ 夹角的余弦值.

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16、在平面直角坐标系中，圆 $C_{1}$ 经过点 $M (3, 1)$ ，且与圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} - 2 x - 8 y + 12 = 0$ 相切于点 $N (3, 3) .$

(1)、求直线 $C_{2} N$ 的方程；

(2)、求圆 $C_{1}$ 的标准方程.

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17、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，点 $P_{1} (1, - 2)$ 在C上，k为常数， $k > 0.$ 按照如下方式依次构造点 $Q_{n - 1}$ 和 $P_{n} (n = 2 ， 3 ， \dots) :$ 过点 $P_{n - 1}$ 作斜率为k的直线与C的另一交点为 $Q_{n - 1}$ ，过点 $Q_{n - 1}$ 作斜率为 $- k$ 的直线与C的另一交点为 $P_{n}$ ，记 $P_{n}$ 的坐标为 $(x_{n}, y_{n})$ ， $Q_{n}$ 的坐标为 $(a_{n}, b_{n})$ ，直线 $P_{n} P_{n + 1}$ 的斜率为 $k_{n}$ ，则 $k_{2025} b_{2025} =$ .

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18、任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上 $1;$ 若是偶数，就将该数除以 $2.$ 反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈 $1 \to 4 \to 2 \to 1.$ 这就是数学史上著名的“冰雹猜想” $($ 又称“角谷猜想”等 $) .$ 如取正整数 $m = 8$ ，根据上述运算法则得出 $8 \to 4 \to 2 \to 1$ ，共需经过3个步骤变成 $1 ($ 简称为3步“雹程” $) .$ 现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = m (m$ 为正整数 $)$ ， $a_{n + 1} = {\begin{matrix} \frac{a_{n}}{2} ，当 a_{n} 为偶数时 \\ 3 a_{n} + 1 ，当 a_{n} 为奇数时 \end{matrix}$ ，当 $m = 20$ 时，使得 $a_{n} = 1$ 需要步雹程.

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19、在空间直角坐标系中，已知平面 $α$ 的法向量为 $\vec{a} = (4, 2, - 2 k)$ ，平面 $β$ 的法向量为 $\vec{b} = (k - 3, - 1, 1)$ ，若 $α / / β$ ，则实数k的值为.

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20、四棱锥 $P - A B C D$ 的底面为正方形， $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P D = 1$ ， $A D = \sqrt{2}$ ， $\vec{P M} = λ \vec{C B}$ ， $\vec{P N} = λ \vec{A B}$ ，其中 $λ \neq 0$ ，下列说法正确的是（）

A、存在实数 $λ$ ，使得异面直线 $B P$ 与 $M N$ 的所成角为 $\frac{π}{3}$ B、三棱锥 $B - M C D$ 的体积为 $\frac{1}{3}$ C、直线 $P B$ 与平面 $M C D$ 所成角的正弦值的最大值为 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ D、二面角 $B - M N - D$ 的最大值为 $\frac{π}{2}$

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