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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \sin (x + α)$ ， $g (x) = \cos (x + β)$ ，则下列结论一定正确的有（）

A、若 $α = β$ ，则 $f (x)$ 与 $g (x)$ 有相同的零点 B、若 $α + β = \frac{π}{2}$ ，则 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的图象关于y轴对称 C、若 $α - β = π$ ，则将 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{2}$ 个单位长度后，得到 $g (x)$ 的图象 D、若 $α - β = \frac{3 π}{2}$ ，则 $f (x)$ 与 $g (x)$ 有相同的单调区间

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2、已知一批产品的某项质量指标 $X ~ N (18, σ^{2}) (σ > 0)$ ，且 $P (15 < X \leq 18) = 0.4$ ，现从该批产品中随机取4件产品，变量Y表示这4件产品的质量指标 $X \in (15, 21)$ 的产品件数，则（）

A、 $E (X) = 18$ B、 $P (Y = 1) = 0.0512$ C、 $P (X > 21) = 0.1$ D、 $D (Y) = 0.64$

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3、设函数 $f (x) = (e^{x + 2} - a) \ln (x - b)$ ，若 $f (x) \geq 0$ ，则 $\frac{a^{2}}{2} - b$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、3 D、 $\frac{7}{2}$

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4、在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，过 $B_{1} C_{1}$ 的平面与AB，AC分别交于点E，F，且该平面将三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 分成体积相等的两部分，则 $\frac{A E}{E B} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{1}{3}$

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5、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $a^{2} + c^{2} = b^{2} - \frac{8}{5} a c$ ，且AB边上的高等于 $\frac{3}{2} A B$ ，则 $\sin C =$ （）

A、 $\frac{6 \sqrt{13}}{65}$ B、 $\frac{4 \sqrt{3}}{27}$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{20}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{25}$

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6、已知 $7 sin α = 3 cos 2 α$ ，则下列四个点中，在角 $α$ 的终边上的可以是（）

A、 $(3, 1)$ B、 $(1, 2 \sqrt{2})$ C、 $(- 2, \frac{\sqrt{2}}{2})$ D、 $(- 1, \frac{1}{3})$

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7、已知向量 $\vec{a} = (1, - 1)$ ， $\vec{b} = (m, 2)$ ，若向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $2 \vec{a}$ ，则 $m =$ （）

A、4 B、 $- 4$ C、2 D、 $- 2$

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8、已知复数z满足 $i^{5} \cdot z = 2 + i$ ，则 $|z| =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{5}$ C、4 D、 $2 \sqrt{5}$

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9、下列抛物线中，准线方程为 $y = - \frac{1}{8}$ 的是（）

A、 $y^{2} = \frac{1}{2} x$ B、 $y^{2} = \frac{1}{4} x$ C、 $y = 2 x^{2}$ D、 $y = 4 x^{2}$

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10、已知集合 $M = \{x | - 1 < x < 3\}$ ， $N = \{x |x^{3} \geq 1\}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $(- 1, 1]$ B、 $[1, 3)$ C、 $(- 1, 3)$ D、 $[1, + \infty)$

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11、已知函数 $f (x) = x e^{x}$ ， $g (x) = \ln x + x$ .

(1)、求函数 $g (x)$ 在 $(1, g (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $h (x) = f (x) - a g (x)$ ，
（i）当 $a = 1$ 时，求函数 $h (x)$ 的最小值；
（ii）若 $h (x) = 0$ 有两个实根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，证明： $e^{x_{1} + x_{2} - 2} > \frac{1}{x_{1} x_{2}}$ .

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12、已知 $F$ 是抛物线 $C : x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点， $C$ 在点 $A (2, 1)$ 处的切线交 $y$ 轴于点 $G$ ，过点 $G$ 的直线与 $C$ 交于 $B, D$ 两点.

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、比较 $| G A |^{2}$ 与 $|G B| \cdot |G D|$ 的大小，并说明理由；

(3)、过点 $F$ 的直线与 $C$ 交于 $P, Q$ 两点， $T (0, 2)$ ，线段 $P T, Q T$ 的延长线分别交 $C$ 于点 $M$ ， $N$ ，试判断直线 $M N$ 是否过定点，如果是，请求出该定点的坐标，如果不是，请说明理由.

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13、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 3, a_{n + 1} = 2 a_{n} + 1$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{1} = 1$ ，且 $\frac{b_{n + 1}}{2 n + 1} = \frac{b_{n}}{2 n - 1}$ .

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(3)、将 $\{b_{n}\}$ 中的项按从小到大的顺序插入 $\{a_{n}\}$ 中，且在任意的 $a_{k}, a_{k + 1}$ 之间插入 $(2 k - 1)$ 项，从而构成一个新数列 $\{c_{n}\}$ ，设 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{100}$ .

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14、某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：
红色外观
蓝色外观
棕色内饰
7
10
米色内饰
3
5

(1)、若小明从这些模型中随机抽取一个模型，记事件 $A$ 为抽到的模型为红色外观，事件 $B$ 为抽到的模型是米色内饰，求 $P (B), P (B ∣ A)$ ，并据此判断事件 $A, B$ 是否相互独立；

(2)、该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以从这些模型中一次性抽两个汽车模型，根据这两个汽车模型的外观和内饰颜色确定奖金：若外观异色且内饰异色，则奖励600元，若外观同色且内饰同色，则奖励300元，若仅外观同色或仅内饰同色，则奖励150元，设一次抽奖的奖金为 $X$ 元，求 $X$ 的分布列与期望.

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15、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ A C, A B = 3, A C = A A_{1} = 2$ .

(1)、证明：平面 $A_{1} B C ⊥$ 平面 $A B C_{1}$ ；

(2)、求平面 $A B C_{1}$ 与平面 $A_{1} B C_{1}$ 夹角的余弦值.

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16、已知集合 $A \subseteq N^{*}$ 且 $A$ 中至少含有2个元素，若对于 $A$ 中的任意两个不同元素 $x, y$ ，都有 $|x - y| \neq k$ ，则称 $A$ 具有性质 $P (k)$ ，若 $A \subseteq \{1, 2, \dots, 2025\}$ ，且同时具有性质 $P (4)$ 和 $P (7)$ ，则 $A$ 中至多有个元素.

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17、已知 $f (x) = ln (2 + x) + ln (1 + a x)$ 是偶函数，则 $f (x)$ 的最大值为.

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18、椭圆 $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的离心率为.

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19、已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} {sin}^{2} x + sin (2 x + \frac{2 π}{3})$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{3}, \sqrt{3})$ 对称 C、 $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{π}{2})$ 上的值域为 $[\sqrt{3} - 1, \frac{3 \sqrt{3}}{2})$ D、若 $f (x)$ 的图象向右平移 $φ (φ > 0)$ 个单位长度后所得图象关于 $y$ 轴对称，则 $φ$ 的最小值为 $\frac{5 π}{12}$

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20、下列说法正确的是（）

A、数据 $1, 3, 5, 7, 9, 11, 13$ 的第80百分位数为11 B、已知随机变量 $ξ \sim B (6, \frac{2}{3})$ ，设 $η = 3 ξ + 1$ ，则 $η$ 的方差 $D (η) = 12$ C、用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是 $\frac{1}{51}$ D、若样本数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 的平均数为2，则 $2 x_{1} + 3, 2 x_{2} + 3, \dots, 2 x_{n} + 3$ 的平均数为8

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	红色外观	蓝色外观
棕色内饰	7	10
米色内饰	3	5