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相关试卷

1、某机构为研究高血压与高盐饮食是否有关系进行了一次调查，根据独立性检验的原理，有 $95 %$ 的把握但没有 $99 %$ 的把握认为高血压与高盐饮食有关，则 $χ^{2}$ 的观测值不可能为（）
附： $P (χ^{2} \geq 3.841) = 0.05, P (χ^{2} \geq 6.635) = 0.01, P (χ^{2} \geq 7.879) = 0.005$ .

A、3.622 B、4.502 C、5.921 D、6.634

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2、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{4} + a_{7} = 12$ ，则 $S_{10} =$ （）

A、30 B、40 C、60 D、120

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3、抛物线 $y = \frac{1}{8} x^{2}$ 的焦点坐标是（）

A、 $(0, 2)$ B、 $(0, - 2)$ C、 $(- 2, 0)$ D、 $(2, 0)$

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4、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，短轴长为 $2 \sqrt{3}$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、记 $C$ 的左顶点为 $A$ ，直线 $l$ 与 $C$ 交于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之积为 $- \frac{1}{4}$ .
（i）证明：直线 $l$ 过定点；
（ii）若 $P$ 在 $x$ 轴上方，直线 $P F_{1}$ 与圆 $M : (x + 1)^{2} + y^{2} = 16$ 交于点 $B$ ，点 $B$ 在 $x$ 轴上方.是否存在点 $P$ ，使得 $△ P B F_{2}$ 与 $△ Q F_{1} F_{2}$ 的面积之比为3：5？若存在，求出点 $P$ 坐标；若不存在，说明理由.

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5、2023年6月7日，21世纪汽车博览会在上海举行，已知某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：
红色外观
蓝色外观
棕色内饰
12
8
米色内饰
2
3

(1)、若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件 $A$ 为小明取到红色外观的模型，事件 $B$ 为小明取到棕色内饰的模型，求 $P (B)$ 和 $P (B |A)$ ，并判断事件 $A$ 和事件 $B$ 是否独立.

(2)、该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些模型中拿两个汽车模型，拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色、以及仅外观或仅内饰同色.拿到的两个模型仅外观或仅内饰同色，可以获得奖金150元，外观和内饰均为同色可以获得奖金300元，外观和内饰都异色可以获得奖金600元，设 $X$ 为奖金额，写出 $X$ 的分布列并求出 $X$ 的数学期望.

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6、深圳欢乐谷试卖一款纪念品，现统计了该款纪念品的定价 $x$ （单位：元）与销量 $y$ （单位：百件）的对应数据，如下表所示：
$x$
12
12.5
13
13.5
14
$y$
14
13
11
9
8

(1)、求该纪念品定价的平均值 $\bar{x}$ 和销量的平均值 $\bar{y}$ .

(2)、计算 $x$ 与 $y$ 的相关系数 $r$ ；判断能否用线性回归模型拟合 $y$ 与 $x$ 的关系，并说明理由.
参考数据： $\sum_{i = 1}^{5} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = - 8$ ， $\sqrt{\frac{64}{65}} \approx 0.992$ .
参考公式：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ .若 $|r| > 0.75$ ，则 $y$ 与 $x$ 的线性相关性很强.

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7、（1）解方程： $C_{9}^{x} = C_{9}^{2 x - 3}$ （ $x \in N$ ）.
（2）甲乙丙丁戊五个同学计划五一假期去上海、北京、广州游玩，每人只能选择去一个城市，每个城市至少去一人，共有多少种不同游玩方法？

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8、某校举办元旦晚会，有3个语言类节目和4个唱歌节目，要求第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有种排法（数字作答）

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9、已知随机变量 $X \sim B (4, p)$ ，若 $E (X) = \frac{8}{3}$ ，则 $D (X) =$ .

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10、下列说法正确的是（）

A、 $50^{2019} + 1$ 被7除后的余数为5 B、两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是 $\frac{1}{2}$ C、已知 $A_{n}^{2} = C_{n}^{3}$ ，则 $n = 8$ D、从正方体的八个顶点中任取四个顶点，这四点能构成三棱锥的个数为58

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11、对变量 $y$ 和 $x$ 的一组样本数据 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2})$ ， …， $(x_{n}, y_{n})$ 进行回归分析，建立回归模型，则（）

A、残差平方和越小，模型的拟合效果越好 B、用决定系数 $R^{2}$ 来刻画回归效果， $R^{2}$ 越小，说明模型的拟合效果越好 C、若由样本数据得到经验回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，则其必过点 $(\bar{x}, \bar{y})$ D、若 $y$ 和 $x$ 的样本相关系数 $r = - 0.95$ ，则 $y$ 和 $x$ 之间具有很强的负线性相关关系

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12、已知 ${(1 + 2 x)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + \cdot \cdot \cdot + a_{n} x^{n}$ ，随机变量 $ξ \sim N (1, \frac{1}{4})$ ，若 $\frac{a_{1}}{a_{2}} = E (ξ) D (ξ)$ ，则 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \cdot \cdot \cdot + a_{n}$ 的值为（）

A、81 B、242 C、243 D、80

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13、“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现.如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，若第n行中从左至右只有第12个数为该行中的最大值，则n=（）

A、21 B、22 C、23 D、24

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14、下列说法不正确的是（）

A、 $P (A B) = P (A) P (B |A)$ B、 $P (A B) \leq P (A)$ C、 $P (A B) = P (A) P (A |B)$ D、 $P (A B) \leq P (B |A)$

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15、对变量 $x$ ， $y$ 有观测数据 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, 3, \dots, 10)$ ，得散点图；对变量 $u$ ， $v$ 有观测数据 $(u_{i}, v_{i}) (i = 1, 2, 3, \dots, 10)$ ，得散点图2．由这两个散点图可以判断（）

A、变量 $x$ 与 $y$ 正相关， $u$ 与 $v$ 正相关 B、变量 $x$ 与 $y$ 正相关， $u$ 与 $v$ 负相关 C、变量 $x$ 与 $y$ 负相关， $u$ 与 $v$ 正相关 D、变量 $x$ 与 $y$ 负相关， $u$ 与 $v$ 负相关

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16、 $A_{5}^{2} + C_{6}^{3}$ 的值为（）

A、60 B、40 C、35 D、20

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17、已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $x + y = 5$ ，若 $\frac{4}{x + 1} + \frac{1}{y + 2} \geq 2 m + 1$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是.

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18、我国古代南北朝数学家祖暅在计算球的体积时，提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，意思是夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.

(1)、已知一个半径为 $R$ 的半球（如图①），以及一个底面半径和高都等于 $R$ 的圆柱（如图②），在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到的一个新几何体，试用祖暅原理求新几何体的体积.

(2)、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $4, Q$ 为空间内一点，满足 $Q A ⊥ Q D_{1}$ ，记点 $Q$ 的轨迹所围成的空间几何体为 $Ω$ .
（i）求平面 $B D D_{1} B_{1}$ 截空间几何体 $Ω$ 所得截面的面积；
（ii）若平面 $B D D_{1} B_{1}$ 把空间几何体 $Ω$ 分成两个部分，求较小部分的体积.

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19、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a = 2$ .

(1)、若 $A = 45^{\circ}, b = \sqrt{6}$ ，求 $B$ ；

(2)、若 $D$ 是 $B C$ 的中点，且 $A D = \sqrt{3}, ∠ A B C = 2 ∠ D A C$ ，求 $c$ ；

(3)、若 $sin (A - B) = \frac{1}{4}, C = 30^{\circ}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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20、如图，平面四边形 $A B C D$ 中， $△ B C D$ 是边长为2的等边三角形，且 $A D = 2 \sqrt{3}$ ， $∠ A D B = 90^{\circ}, E$ 为 $A B$ 的中点，将 $△ C B D$ 沿 $B D$ 翻折至 $△ P B D$ .

(1)、证明： $B D ⊥ P E$ ；

(2)、若 $A P = 2 \sqrt{5}$ ，求直线 $E P$ 与平面 $P B D$ 所成角的余弦值.

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	红色外观	蓝色外观
棕色内饰	12	8
米色内饰	2	3

$x$	12	12.5	13	13.5	14
$y$	14	13	11	9	8