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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 对应的边分别为 $a, b, c$ ，已知向量 $\vec{m} = (sin B, a + c), \vec{n} = (b - c, sin C - sin A)$ ，且 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ .

(1)、求 $A$ .

(2)、著名数学家柯西在数学领域有非常高的造诣，很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式､柯西积分公式等.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.
①用向量证明二维柯西不等式： ${(x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2})}^{2} \leq (x_{1}^{2} + y_{1}^{2}) (x_{2}^{2} + y_{2}^{2})$ .
②已知三维分式型柯西不等式： $y_{1}, y_{2}, y_{3} \in R^{+}, \frac{x_{1}^{2}}{y_{1}} + \frac{x_{2}^{2}}{y_{2}} + \frac{x_{3}^{2}}{y_{3}} \geq \frac{{(x_{1} + x_{2} + x_{3})}^{2}}{y_{1} + y_{2} + y_{3}}$ ，当且仅当 $\frac{x_{1}}{y_{1}} = \frac{x_{2}}{y_{2}} = \frac{x_{3}}{y_{3}}$ 时，等号成立.若 $a = 4$ ， $M$ 是 $△ A B C$ 内一点，过 $M$ 作 $A B, B C, A C$ 的垂线，垂足分别为 $D, E, F$ ，求 $T = \frac{|A B|}{|M D|} + \frac{16 |B C|}{|M E|} + \frac{|A C|}{|M F|}$ 的最小值.

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2、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = C B = C C_{1}, ∠ A C B = 120^{°}, E$ 为AB的中点.

(1)、证明： $A C_{1} / /$ 平面 $B_{1} C E$ .

(2)、证明：平面 $B_{1} C E ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ .

(3)、求直线 $C_{1} E$ 与平面 $C E B_{1}$ 所成角的正弦值.

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3、设 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $1 + \frac{tan B}{tan A} = \frac{2 c}{a}$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $B D$ 为 $∠ A B C$ 的平分线且与 $A C$ 交于点 $D, B D = 4$ ，求 $△ A B C$ 面积的最小值.

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4、2024年底我国一家公司的 $APP$ 发布，引起全球轰动.某单位引入该 $APP$ ，并对员工进行了该 $APP$ 应用的培训，为了激发员工的培训积极性，提升员工的应用能力，单位还举行了该 $APP$ 应用相关知识竞赛.竞赛成绩出来后随机抽取了 $100$ 名员工的成绩（单位：分），根据这 $100$ 名员工的成绩（成绩均在 $[50, 100]$ 之间），将样本数据分为 $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ 五组，绘制出频率分布直方图（如图所示）.

(1)、求频率分布直方图中 $m$ 的值；

(2)、估计这100名员工的竞赛成绩的平均数（同一组中的数据以该组数据所在区间中点的值作代表）；

(3)、在样本中，从成绩在 $[50, 60)$ 和 $[60, 70)$ 内的员工中按分层抽样抽取6人，再从抽取的6人中随机抽取2人进行再培训，求这2人的成绩都在 $[60, 70)$ 内的概率.

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5、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $\vec{A E} = 2 \vec{E B}, \vec{D F} = 3 \vec{F B}$ ，设 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A D} = \vec{b}$ .

(1)、用 $\vec{a}, \vec{b}$ 表示 $\vec{B D}, \vec{A F}$ ；

(2)、证明： $E, F, C$ 三点共线.

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6、 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $b = 4, B = \frac{π}{3}$ ，若 $△ A B C$ 外接圆的圆心为 $O$ ，则 $\vec{B O} \cdot (\vec{B A} + \vec{B C})$ 的最大值为.

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7、在一次招聘面试中，小明要依次回答甲､乙､丙三个问题，已知他答对这三个问题的概率分别为 $0.9, 0.5, 0.4$ ，各题回答正确与否相互独立，则小明能够连续答对至少2个问题的概率为.

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8、已知向量 $\vec{a} = (6, x), \vec{b} = (2, - 1)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $x =$ .

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9、已知正四面体 $A B C D$ 的每条棱长均为 $2 \sqrt{2}, M N$ 为正四面体 $A B C D$ 的外接球的直径，点 $P$ 在正四面体 $A B C D$ 的表面上运动，则下列结论正确的是（）

A、正四面体 $A B C D$ 外接球的表面积为 $12 π$ B、正四面体 $A B C D$ 内切球的体积为 $\frac{4 \sqrt{3} π}{27}$ C、 $\vec{P M} \cdot \vec{P N}$ 的最大值为 $\frac{8}{3}$ D、 $\vec{P M} \cdot \vec{P N}$ 的最小值为 $- \frac{8}{3}$

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10、在高考中化学科目的成绩不直接以原始分计入总成绩，而是通过等级赋分的方式转换后计入，某次考试中4名同学化学成绩的原始分（记为 $A$ 组）与赋分（记为 $B$ 组）数据如下.
学号
1
2
3
4
原始分 $(A$ 组 $)$
94
85
76
53
赋分 $(B$ 组 $)$
100
95
87
70
下列结论正确的是（）

A、 $A$ 组数据的极差小于 $B$ 组数据的极差 B、 $A$ 组数据的平均数小于 $B$ 组数据的平均数 C、 $A$ 组数据的方差小于 $B$ 组数据的方差 D、 $A$ 组数据的中位数小于 $B$ 组数据的 $40 %$ 分位数

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11、已知向量 $\vec{a} = (2, - 3), \vec{b} = (2, 1)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ B、 $|\vec{a}| = \sqrt{13}$ C、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为钝角 D、 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量的坐标为 $(\frac{2}{5}, \frac{1}{5})$

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12、掷两枚均匀的骰子，观察所得点数.设“两个点数都是偶数”为事件A，“两个点数都是奇数”为事件 $B$ ， “两个点数之和是偶数”为事件 $C$ ， “两个点数之积是奇数”为事件 $D$ ，则（）

A、事件 $A$ 与事件 $B$ 互为对立事件 B、事件 $C$ 与事件 $D$ 相互独立 C、事件 $A$ 与事件 $C \cup D$ 不相互独立 D、事件 $B$ 与事件 $C \cap D$ 互斥

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13、如图，某河流两边有 $A, B, C, D$ （在同一个平面内）四点，已知 $C, D$ 两个观察点在河的南岸，二者间的距离为 $10 m$ ，为了测量在河的北.岸 $A, B$ 两个目标点间的距离，某小组测得 $∠ A C B = 75^{\circ}, ∠ A C D = 120^{\circ}, ∠ A D C = 30^{\circ}, ∠ A D B = 45^{\circ}$ ，则 $A, B$ 两个目标点间的距离为（）

A、 $10 \sqrt{2} m$ B、 $5 \sqrt{15} m$ C、 $\frac{10 \sqrt{15}}{3}$ ， D、 $10 \sqrt{3} m$

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14、若一个圆锥的轴截面是边长为 $2 \sqrt{3}$ 的正三角形，则该圆锥的体积为（）

A、 $3 π$ B、 $4 π$ C、 $5 π$ D、 $6 π$

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15、设 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，则 $a (c cos B - b cos C) =$ （）

A、 $b^{2} - c^{2}$ B、 $c^{2} - b^{2}$ C、 $a^{2} - b^{2}$ D、 $a^{2} - c^{2}$

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16、如图所示，一个水平放置的 $△ A B C$ 的斜二测直观图是 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，若 $O^{'} A^{'} = \sqrt{3}, O^{'} B^{'} = O^{'} C^{'} = 2$ ，则 $△ A B C$ 的面积是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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17、 $\vec{N M} + \vec{B M} + \vec{A B} - \vec{A M} =$ （）

A、 $\vec{N M}$ B、 $\vec{M N}$ C、 $\vec{A N}$ D、 $\vec{B N}$

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18、若复数 $z = \frac{1 - 2 i}{2 + i}$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z$ 的共轭复数的虚部为（）

A、 $i$ B、 $- i$ C、1 D、-1

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19、把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系，这就是“算两次”原理．比如“ $C_{n + 1}^{m} = C_{n}^{m} + C_{n}^{m - 1}$ ”；一方面问题视为从包含 $a$ 的 $n + 1$ 个不同的元素中取出 $m$ 个元素，共有 $C_{n + 1}^{m}$ 种方法；另一方面，还可以视为取出的 $m$ 个元素中，一类是不含有 $a$ ，共有 $C_{n}^{m}$ 种方法，一类是含有 $a$ ，共有 $C_{n}^{m - 1}$ 种方法，由分类加法计数原理有 $C_{n + 1}^{m} = C_{n}^{m} + C_{n}^{m - 1}$ ． “算两次”原理在数学中有广泛的应用．

(1)、若函数 $f (x)$ 对任意 $x \in (0, + \infty)$ 都有 $2 eln x \leq f (x) \leq x^{2}$ 恒成立，求 $f (\sqrt{e})$ 的值（e为自然对数的底数， $e \approx 2.71828 \cdot \cdot \cdot$ ）；

(2)、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，角 $B$ 的内角平分线交 $A C$ 于 $D$ ，证明： $(c - a) cos \frac{B}{2} = b cos (A + \frac{B}{2})$ ；

(3)、当 $n \geq 3$ 时，求 $\sum_{k = 1}^{n} [1 + {(- 1)}^{k}] k^{2} C_{n}^{k}$ 的值．（结果用含 $n$ 的式子表示）

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20、为了提高学生学习数学的兴趣，某校组织 $1000$ 名学生参加数学竞赛预赛，学校根据预赛成绩选拔 $400$ 名学生入围复赛（划定入围复赛分数线，成绩大于等于分数线即入围），下图是根据预赛成绩（满分 $150$ 分）整理后绘制成的频率分布直方图．

(1)、估算本次预赛成绩的平均分以及入围复赛的分数线；

(2)、从参加预赛的 $1000$ 名学生中随机抽取 $30$ 人进行访谈，设抽取到入围复赛的人数为 $X$ ，求 $E (X)$ ；

(3)、为了给未入围复赛的学生参加复赛的机会，学校允许数学老师在未入围复赛的 $600$ 名学生中推荐 $100$ 名学生参加复赛．若推荐入围复赛的学生在复赛中获奖的概率为 $0.1$ ，通过预赛入围复赛的学生在复赛中获奖的概率为 $0.4$ ．在入围复赛的 $500$ 名学生中随机抽取 $1$ 名学生，求抽取的学生在复赛中获奖的概率．

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学号	1	2	3	4
原始分 $(A$ 组 $)$	94	85	76	53
赋分 $(B$ 组 $)$	100	95	87	70