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相关试卷

1、已知 $f (x)$ 定义域为 $R$ ， $f (x) = f (2 - x)$ ，且 $f (x) = - f (- x)$ ，当 $x \in (0, 1]$ 时， $f (x) = x$ .则下列说法正确的有（）

A、直线 $x = 5$ 是 $f (x)$ 的对称轴 B、 $f (x)$ 在 $[- 2025, - 2023]$ 上单调递减 C、 $f (0) + f (1) + \dots + f (2025) = 1$ D、设 $y = \frac{1}{2025} x$ 与 $f (x)$ 图象的第i个交点为 $(x_{i}, y_{i})$ （ $i \in R$ ），若 $y = f (x)$ 与 $y = \frac{1}{2025} x$ 的图象有 $n$ 个交点，则 $\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n} = 0$

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2、已知 $f (x) = s i n (ω x + φ) + 1$ ，且 $φ \in (0, \frac{π}{2})$ ， $f (0) = \frac{3}{2}$ ，则（）

A、若 $ω = 1$ ，则 $f (x)$ 最小正周期为 $2 π$ B、若 $ω = 5$ ，则 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{5}, \frac{13 π}{30}]$ 上单调递增 C、若 $ω > 0$ ，且 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{3}, \frac{π}{2}]$ 上单调递增，则 $ω \in (0, \frac{2}{3}] \cup [4, \frac{14}{3}]$ D、若 $ω > 0$ ，且 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{3}, \frac{π}{2}]$ 上无零点，则 $ω \in (0, \frac{4}{3}) \cup (5, \frac{16}{3})$

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3、在 $△ A B C$ 中， $\frac{3}{tan A} = \frac{cos C}{sin B} + \frac{c \cdot cos A}{b \cdot sin A}$ ，则 $tan 2 A =$ （）

A、 $\frac{4 \sqrt{2}}{7}$ B、 $- \frac{4 \sqrt{2}}{7}$ C、 $\frac{4 \sqrt{7}}{2}$ D、 $- \frac{4 \sqrt{7}}{2}$

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4、若 $f (x)$ 为关于 $x$ 的函数，则 $\forall x \in R$ ，有（）

A、 $f (s i n 2 x) = x$ B、 $f (x^{2} + 1) = x^{2} + 2 x + 1$ C、 $f (x + 1) = l n x$ D、 $f (2^{x}) = x^{2}$

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5、已知 $(x_{1}, y_{1})$ 和 $(x_{2}, y_{2})$ 是函数 $y = 2^{x}$ 图象上的两点，则（）

A、 $y_{1} + y_{2} \geq 2^{x_{1} + x_{2}}$ B、 $\frac{y_{1} + y_{2}}{2} \leq 2^{\frac{x_{1} + x_{2}}{2}}$ C、 $y_{1} y_{2} \geq 4^{x_{1} - 1} + 4^{x_{2} - 1} + 2^{x_{1} + x_{2} - 1}$ D、 $\frac{y_{1} + y_{2}}{2} \geq 2^{\frac{x_{1} + x_{2}}{2}}$

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6、已知 $m + n = 1 (m > 0, n > 0)$ ，则 $\frac{2}{m} + \frac{3}{n}$ 的最小值为（）

A、5 B、6 C、 $5 + 2 \sqrt{6}$ D、 $6 + 2 \sqrt{5}$

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7、已知 $A = {x | x^{2} - 4 x + 3 < 0}$ ， $B = {x | 4 < 2^{x} \leq 8}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${x | 1 < x < 3}$ B、 ${x | 2 < x < 3}$ C、 ${x | 1 < x \leq 3}$ D、 ${x | 1 < x < 2}$

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8、

(1)、若 $θ$ 为 $△ A B C$ 的一个内角，且关于x的方程 $5 x^{2} + x + m = 0$ 的两根为 $\sin θ$ ， $\cos θ$ ．求 $\tan θ$ 的值，并判断 $△ A B C$ 的形状．

(2)、是否存在角 $α$ 和 $β$ ，当 $α \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ ， $β \in (0, π)$ 时，方程组 $\{\begin{cases} \sin (2025 π - α) = \sqrt{2} \cos (\frac{2025 π}{2} - β) \\ \sqrt{3} \cos (2026 π - α) = - \sqrt{2} \cos (10001 π + β) \end{cases}$ 有解？若有解，则求出 $α$ 和 $β$ 的值；若无解，请说明理由．

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9、已知函数 $f (x) = \sin x - x \cos x + a x$ ， $x \in (0, π)$ .

(1)、若 $a = 0$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(\frac{π}{2}, 1)$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x) > 0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、若 $a = - 1$ ，证明： $f (x)$ 在 $(0, π)$ 上有且只有一个零点.

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10、已知平面四边形 $A B C D$ 中， $A D$ $∥$ $B C, B C ⊥ C D$ ，且 $A D = C D = \frac{\sqrt{2}}{2} A B = 2$ ．以 $A D$ 为腰作等腰直角三角形 $P A D$ ，且 $P A = A D$ ，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$

(1)、证明： $A B ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、已知点 $M$ 是线段 $P D$ 上一点，
①若 $P B$ $∥$ 平面 $M A C$ ，求点 $M$ 到平面 $P B C$ 的距离；
②若直线 $B M$ 与平面 $A B C D$ 夹角的正弦值是 $\frac{\sqrt{14}}{14}$ ，求二面角 $B - A M - C$ 的正弦值．

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11、中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程.

(1)、若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”课程不排第一周，“剪纸”课程不排最后一周的所有排法种数；

(2)、现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙有且只有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数；

(3)、计划安排 $A, B, C, D, E$ 五名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，教师 $A$ 不任教“围棋”课程，教师 $B$ 只能任教一门课程，求所有课程安排的种数.

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12、已知空间四点 $A (0, 2, 3), B (2, - 2, - 1), C (1, 4, 3), D (- 1, 3, λ)$ ．

(1)、求以 $A B, A C$ 为邻边的平行四边形面积；

(2)、若 $A ､ B ､ C ､ D$ 四点共面，求 $λ$ 的值；

(3)、求直线AB和直线CD夹角余弦值的取值范围．

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13、已知函数 $f (x) = (x^{2} - a x - a) e^{x}$ 在 $(0, f (0))$ 处的切线垂直于直线 $2 x + y + 1 = 0$ ．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 的极值．

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14、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥ P B, P A = P B, A B = 4, B C = 1$ ，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 的体积的最大值为；二面角 $P - A C - B$ 的正弦值的最小值为．

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15、设 $f^{'} (x)$ 是函数 $y = f (x)$ 的导函数， $f^{″} (x)$ 是函数 $y = f^{'} (x)$ 的导函数，若方程 $f^{″} (x) = 0$ 有实数解 $x = x_{0}$ ，则称 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 为函数 $y = f (x)$ 的“拐点”．经研究发现所有的三次函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a \neq 0)$ 都有“拐点”，且该“拐点”也是函数 $y = f (x)$ 图象的对称中心．若函数 $f (x) = x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}$ ，则 $f (\frac{1}{2025}) + f (\frac{2}{2025}) + \dots + f (\frac{2025}{2025}) =$ ．

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16、若函数 $f (x) = 2 e^{2 x} + 1$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, 3)$ 处的切线方程为．

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17、已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 4$ ，直线 $y = a$ 与函数 $f (x)$ 的图像有3个不同的交点，3个交点的横坐标分别为 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $a \in (0, 4)$ B、过点 $(0, 4)$ 作函数 $f (x)$ 的切线，有且只有三条 C、若 $m + n = 2$ ，则有 $f (m) + f (n) = 4$ D、 $x_{1} x_{2} x_{3} = a - 4$

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18、下列说法正确的是（）

A、 $A_{n + 2}^{n + 2} - A_{n + 1}^{n + 1} = {(n + 1)}^{2} A_{n}^{n}$ B、将9个团员指标分到某年级的3个班，每班要求至少得2个，有15种不同的分配方法 C、某同学把英文单词“apple”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有59种 D、 $C_{n}^{5 - n} + C_{n + 1}^{9 - n} = 5$

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19、关于空间向量，以下说法正确的是（）

A、空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B、若 $< \vec{a}, \vec{b} >$ 是锐角，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$ C、已知 $\vec{A B} = (- 1, \frac{1}{2}, 0)$ ，平面 $α$ 的法向量为 $\vec{m} = (1, 2, 1)$ ，则 $A B ∥ α$ D、已知向量组 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 是空间的一个基底，则 $\{2 \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} - \vec{a}\}$ 也是空间的一个基底

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20、设函数 $f (x) = e^{x} (2 x - 1) - 3 a x + 3 a$ ，其中 $a < 1$ ，若存在唯一的整数 $x_{0}$ 使得 $f (x_{0}) < 0$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{2 e}, \frac{1}{3})$ B、 $[\frac{3}{2 e}, 1)$ C、 $[\frac{4 \sqrt{e}}{3 e}, 1)$ D、 $[\frac{3}{4 e}, \frac{1}{3})$

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