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相关试卷

1、（1）已知 $△ A B C$ 的三个内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ .
①若 $a = 3, b = 5, c = 7$ ，求 $△ A B C$ 的面积 $S$ .
②记 $p = \frac{a + b + c}{2}$ ，求证： $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ .
（2）在平面四边形 $A B C D$ 中， $A B = a, B C = b, C D = c, D A = d$ ，记 $q = \frac{a + b + c + d}{2}$ ，求证：四边形 $A B C D$ 的面积 $S \leq \sqrt{(q - a) (q - b) (q - c) (q - d)}$ .

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2、如图，四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 底面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 为梯形， $A D / / B C$ ，且 $A D = 2 B C$ ，过 $A_{1}, C, D$ 三点的平面记为 $α$ ， $B B_{1}$ 与 $α$ 的交点为 $Q$ .

(1)、证明： $Q$ 为 $B B_{1}$ 的中点；

(2)、求此四棱柱被平面 $α$ 所分成上下两部分的体积之比；

(3)、若 $A A_{1} = 4, C D = 2$ ，梯形 $A B C D$ 的面积为 $6$ ，求平面 $α$ 与底面 $A B C D$ 所成锐二面角的正切值.

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3、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C$ ， $△ P A B$ 为等边三角形， $A C ⊥ B C$ 且 $A C = B C = 2$ ， $O$ ， $M$ 分别为 $A B$ ， $P B$ 的中点．

(1)、求证：平面 $M O C ⊥$ 平面 $P A B$ ；

(2)、求直线 $M C$ 与平面 $A B C$ 所成角的正弦值.

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4、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin x + \cos x$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期及对称中心；

(2)、若 $f (2 x) \geq 1$ ，求 $x$ 的取值范围.

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5、某校为促进学生对数学文化的认识，举办了相关竞赛，从所有答卷中随机抽取 $100$ 份作为样本，发现得分均在区间 $[30, 90]$ 内 $.$ 现将 $100$ 个样本数据按 $[30, 40)$ ， $[40, 50)$ ， $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80, 90]$ 分成 $6$ 组，得到如下频率分布直方图．

(1)、求出频率分布直方图中 $x$ 的值；

(2)、请估计样本数据的众数和平均数；

(3)、学校决定奖励成绩排名前20%的学生，学生甲的成绩是 $77$ 分，请判断学生甲能否得到奖励，并说明理由．

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6、过 $△ A B C$ 重心 $G$ 的直线 $l$ 与边 $A B, A C$ 交于点 $P, Q$ ，且 $\vec{A P} = λ \vec{A B} (0 < λ < 1) ， \vec{A Q} = μ \vec{A C}$ ，直线 $l$ 将 $△ A B C$ 分成两部分，分别为 $△ A P Q$ 和四边形 $P Q C B$ ，其对应的面积依次记为 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ ， $\frac{S_{2}}{S_{1}}$ 的最大值为.

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7、甲乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9.现两人各射击一次，恰好有一人中靶的概率为．

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8、已知向量 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (2, 0)$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为.

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9、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，P是空间中任意一点，下列命题正确的有（）

A、若P为棱 $C C_{1}$ 中点，则异面直线AP与CD所成角的正切值为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ； B、若P在线段A₁B上运动，则 $A P + P D_{1}$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$ ； C、若p在半圆弧 $\overset{⌢}{C D}$ 上运动，当三棱锥 $P - A B C$ 体积最大时，三棱锥 $P - A B C$ 外接球的表面积为 $2 π$ D、若过点P的平面 $α$ 与正方体每条棱所成角相等，则 $α$ 截此正方体所得截面面积的最大值为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ .

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10、已知复数 $z_{1} = 1 + i, z_{2} = 1 - i$ ，下列选项正确的是（）

A、 $z_{1}$ 与 $z_{2}$ 互为共轭复数 B、 $\frac{z_{1}}{z_{2}} = i$ C、 $|z_{1} + z_{2}| = |z_{1}| + |z_{2}|$ D、 $|z_{1} - z_{2}| = 2$

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11、已知函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{4}) (ω > 0)$ ，若方程 $f (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 在 $(0, π)$ 上恰有两个不同的实根，则 $ω$ 的取值范围为（）

A、 $(2, \frac{5}{2}]$ B、 $(2, \frac{5}{2})$ C、 $(\frac{1}{2}, 2]$ D、 $(\frac{1}{2}, 2)$

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12、已知 $△ A B C$ 的三个内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ， $B = \frac{π}{6}$ ， $a = 2$ ， $b = \sqrt{2}$ ，则 $A =$ （）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{4}$ 或 $\frac{3π}{4}$ D、 $\frac{π}{3}$ 或 $\frac{2π}{3}$

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13、要得到函数 $y = \sin (3 x - \frac{π}{3})$ 的图象，只要把函数 $y = \sin 3 x$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位 B、向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位 C、向左平移 $\frac{π}{9}$ 个单位 D、向右平移 $\frac{π}{9}$ 个单位

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14、有一组样本数据： $1$ ， $2$ ， $2$ ， $3$ ， $3$ ， $3$ ， $4$ ， $5$ ，则下列关于该组数据的数字特征中，数值最大的为（）

A、中位数 B、平均数 C、极差 D、众数

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15、已知向量 $\vec{a} = (2, t)$ ， $\vec{b} = (1, 2)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则（）

A、 $t = - 4$ B、 $t = 4$ C、 $t = 1$ D、 $t = - 1$

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16、已知函数 $f (x) = (x - 2) e^{x} - \frac{a}{3} x^{3} + b x^{2}$ ，其中 $a \geq 0, b \geq 0$ ．

(1)、当 $a = 0, b = 0$ 时，
①若 $x \leq 3$ ，求函数 $f (x)$ 的最大值；
②若直线 $l$ 是曲线 $f (x)$ 的切线，且 $l$ 经过点 $(t, 0)$ ，证明： $| t | \geq 2$ ；

(2)、当 $b > 0$ 时，若 $x = 1$ 是函数 $f (x)$ 的极小值点，求 $b$ 的取值范围．

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17、若抛物线 $y^{2} = m x$ 的焦点与双曲线 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ 的右焦点重合，则实数 $m$ 的值为．

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18、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{n + 1} = a_{n}^{2} - 2 a_{n} (n = 1, 2, \dots)$ ，则（）

A、当 $a_{1} = 3$ 时，对于任意的正整数 $n, a_{n + 1} > a_{n}$ B、当 $a_{1} = 1$ 时，存在正整数 $N$ ，当 $n > N$ 时， $a_{n + 1} > a_{n}$ C、当 $a_{1} \in (2, 3)$ 时，对于任意的正整数 $n, a_{n} \leq 3$ D、当 $a_{1} \in (3, 4)$ 时，存在正整数 $N$ ，当 $n > N$ 时， $a_{n} < 3$

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19、某单位有11名外语翻译人员（每名翻译人员都能从事英语或俄语翻译），其中能从事英语翻译 $x$ 人，且 $x$ 满足 $A_{8}^{x} < 6 A_{8}^{x - 2}$ ，能从事俄语翻译6人．

(1)、问既能从事英语翻译也能从事俄语翻译的有几人？

(2)、现要从中选出8人组成两个翻译小组，其中4人翻译英语，另4人翻译俄语，则有多少种不同的选派方式？

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20、为适应社会化安全宣传新形势新要求，充分发挥区域特色和示范效应，深入推进安全宣传进企业、进农村、进社区、进学校、进家庭，普及安全知识、培育安全文化，某单位用简单随机抽样的方法从A，B两个社区中抽取居民进行满意度调查，调查中有“满意”和“不满意”两个选项，调查的部分数据如下表所示：
社区
居民意见
合计
满意
不满意
A社区
30
45
B社区
55
合计
25

(1)、完成 $2 \times 2$ 列联表，根据小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验，能否认为居民满意度与所在社区有关？

(2)、现从已抽取的“不满意”的居民中随机抽取2位居民进行深入调研，用X表示抽取的“不满意”的居民来自A社区的人数，求随机变量X的分布列及数学期望．
附：参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$P (χ^{2} \geq x_{0})$
0.10
0.05
0.025
0.010
$x_{0}$
2.706
3.841
5.024
6.635

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社区	居民意见		合计
社区	满意	不满意
A社区	30		45
B社区			55
合计		25

$P (χ^{2} \geq x_{0})$	0.10	0.05	0.025	0.010
$x_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635