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相关试卷

1、已知O为坐标原点，双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{5}$ ，且过点 $(\frac{\sqrt{5}}{2}, 1)$ .

(1)、求C的标准方程；

(2)、过C的右焦点F的直线 $l_{1}$ 与双曲线C的左、右两支分别交于两点A、B，点Q是线段 $A B$ 的中点，过点F且与 $l_{1}$ 垂直的直线 $l_{2}$ 交直线 $O Q$ 于M点，点N满足 $\vec{M N} = \vec{M A} + \vec{M B}$ ；
①证明：点M在一条定直线上；
②求四边形 $M A N B$ 面积的最小值.

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2、在 $Δ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边长分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $Δ A B C$ 的面积为 $S$ ，且 $4 S = \sqrt{3} (a^{2} + b^{2} - c^{2})$ ．
（1）求角 $C$ 的大小；
（2）若 $f (x) = 4 \sin x \cos (x + \frac{π}{6}) + 1$ ，且当 $x = A$ 时， $f (x)$ 取得最大值 $b$ ，试求 $S$ 的值．

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3、已知函数 $f (x) = \ln x - a x + (2 a - 1)$ ， $a \in R$

(1)、若 $a = 2$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、讨论函数 $y = f (x)$ 的单调性；

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4、袋子中装有大小、形状完全相同的2个白球和2个红球.现从中不放回地摸取2个球，已知第二次摸到的是红球，则第一次摸到红球的概率为.

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5、已知点 $F$ 是抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点， $A B$ ， $C D$ 是经过点 $F$ 的弦且 $A B ⊥ C D$ ，直线 $A B$ 的斜率 $k > 0$ ， $B$ ， $C$ 两点在 $x$ 轴上方， $O$ 为坐标原点，则下列结论中正确的是（）

A、 $\vec{O C} \cdot \vec{O D} = - \frac{3}{4} p^{2}$ B、四边形 $A C B D$ 面积的最小值为 $16 p^{2}$ C、 $\frac{1}{|A B|} + \frac{1}{|C D|} = \frac{1}{2 p}$ D、若 $|A F| \cdot |B F| = 4 p^{2}$ ，则直线 $C D$ 的斜率为 $- \sqrt{3}$

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6、已知 $p : x \geq n$ ， $q : 6 + 7 x - 3 x^{2} < 0$ ，下列给出的实数 $n$ 的值，能使p是q的充分不必要条件的是（）

A、 $n = 3$ B、 $n = \frac{7}{2}$ C、 $n = 4$ D、 $n$ =2025

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7、已知 $a = \ln 1.2$ ， $b = e^{0.25} - 1$ ， $c = \frac{1}{6}$ ，则（）

A、 $a ＜ b ＜ c$ B、 $b ＜ a ＜ c$ C、 $c ＜ a ＜ b$ D、 $a ＜ c ＜ b$

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8、如图，已知函数 $f (x) = \cos (ω x + φ)$ ，点A，B是直线 $y = \frac{1}{2}$ 与函数 $y = f (x)$ 的图象的两个交点，若 $| A B | = \frac{π}{3}$ ，则函数 $f (x)$ 的单调递减区间为（）

A、 $[k π+ \frac{π}{6}, k π+ \frac{2π}{3}] (k \in Z)$ B、 $[k π - \frac{π}{3}, k π+ \frac{π}{6}] (k \in Z)$ C、 $[2 k π - \frac{2π}{3}, k π+ \frac{π}{3}] (k \in Z)$ D、 $[2 k π+ \frac{π}{3}, k π+ \frac{4π}{3}] (k \in Z)$

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9、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = e^{x}$ ，则 $f (l n \frac{1}{2})$ =

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- 2$ D、 $2$

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10、已知 $\frac{\cos α}{\cos α + \sin α} = 2$ ，则 $tan (α + \frac{π}{4}) =$ （）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $- 3$ C、3 D、 $\frac{1}{3}$

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11、已知非零向量 $\vec{a} ､ \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ ，则 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 的夹角的余弦值是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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12、已知集合 $M = \{- 4, - 2, 0, 1, 3, 5\}, N = \{x ∣ x = 3 k - 2, k \in Z\}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $\{1, 5\}$ B、 $\{- 2, 1\}$ C、 $\{- 2, 1, 5\}$ D、 $\{- 4, - 2, 1\}$

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13、已知 $a, b, c$ 均为正实数，且满足 $9 a + 4 b + 4 c = 4$ ．

(1)、求 $\frac{1}{a} + \frac{1}{100 b} - 4 c$ 的最小值；

(2)、求证： $9 a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq \frac{16}{41}$ .

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14、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知直线 $l : \{\begin{matrix} x = 2 + t cos α \\ y = 1 + t sin α \end{matrix}$ （ $t$ 为参数）， $α$ 为 $l$ 的倾斜角， $l$ 与 $x$ 轴正半轴， $y$ 轴正半轴分别交于 $A, B$ 两点，且 $△ A B O$ 的面积是 $\frac{9}{2}$ ．

(1)、求 $tan α$ ；

(2)、以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 $l$ 的极坐标方程．

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15、已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} a x^{3} + (a + d) x^{2} + (a + 2 d) x + d, g (x) = a x^{2} + 2 (a + 2 d) x + a + 4 d$ ，其中 $a > 0, d > 0$ ，设 $x_{0}$ 为 $f (x)$ 的极小值点， $x_{1}$ 为 $g (x)$ 的极值点， $g (x_{2}) = g (x_{3}) = 0$ ，并且 $x_{2} < x_{3}$ ．将点 $(x_{0}, f (x_{0})), (x_{1}, g (x_{1})), (x_{2}, 0), (x_{3}, 0)$ 依次记为A，B，C，D．

(1)、求 $x_{0}$ 的值；

(2)、若四边形 $A B C D$ 为梯形且面积为1，求a，d的值．

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16、已知点P到圆 ${(x + 2)}^{2} + y^{2} = 1$ 的切线长与到y轴的距离之比为 $t (t > 0, t \neq 1)$

(1)、求动点P的轨迹C的方程；

(2)、设曲线C的两焦点为 $F_{1}$ ､ $F_{2}$ ，试求t的取值范围.使得曲线C上不存在点Q，使 $∠ F_{1} Q F_{2} = θ (0 < θ < π)$ .

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17、某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查（简称安检）．若安检不合格，则必须整改．若整改后经复查仍不合格，则强制关闭．设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5，整改后安检合格的概率是0.8，计算（结果精确到0.01）：

(1)、恰好有两家煤矿必须整改的概率；

(2)、某煤矿不被关闭的概率；

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18、如图已知 $V C$ 是 $△ A B C$ 所在平面的一条斜线，点 $N$ 是 $V$ 在平面 $A B C$ 上的射影，且在 $△ A B C$ 的高 $C D$ 上． $A B = a$ ， $V C$ 与 $A B$ 之间的距离为 $h$ ，点 $M \in V C$ ．

(1)、证明 $∠ M D C$ 是二面角 $M - A B - C$ 的平面角；

(2)、当 $∠ M D C = ∠ C V N$ 时，证明 $V C ⊥$ 平面 $A M B$ ；

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19、（1）已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为 $△ A B C$ 三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边．请用向量方法证明等式 $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos A$ ；
（2）若三个正数 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足 $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos A (0 < A < π)$ ，证明：以 $a$ ， $b$ ， $c$ 为长度的三边可以构成三角形．

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20、某种疾病的患病率为 $5 %$ ，通过验血诊断该病的误诊率（将未患病者判定为阳性的概率）为 $10 %$ ，漏诊率（将患病者判定为阴性的概率）为 $20 %$ ，每人的诊断结果互不影响，则若某人验血的诊断结果是阳性，则该人患病的概率为

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