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相关试卷

1、若存在实数a，对任意的 $x \in [0, m]$ ，都有 $(\sin x - a) \cdot (\cos x - a) \leq 0$ 恒成立，则实数m的最大值为.

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2、已知函数 $f (x) = ln (x^{2} - a x + 3)$ 在区间 $[\frac{1}{2}, \frac{3}{2}]$ 上是减函数，则实数 $a$ 的取值范围是.

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3、已知函数 $f (x)$ 是奇函数，且当 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{3} + x + 1$ ，则当 $x < 0$ 时， $f (x)$ 的解析式为.

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4、“曼哈顿距离”是由赫尔曼-闵可夫斯基使用在几何度量空间的几何学用语．在平面直角坐标系中，点 $P (x_{1}, y_{1}) 、 Q (x_{2}, y_{2})$ 的曼哈顿距离为： $L_{P Q} = |x_{1} - x_{2}| + |y_{1} - y_{2}|$ ．若点 $P (1, 2)$ ，点 $Q$ 为圆 $C : x^{2} + y^{2} = 4$ 上一动点，则（）

A、点 $P (1, 2)$ 和点 $A (- 1, 3)$ 的曼哈顿距离为3 B、设 $Q (2 cos θ, 2 sin θ)$ ，则 $L_{P Q} = \{\begin{array}{l} 1 - 2 \sqrt{2} sin (θ - \frac{π}{4}), cos θ \geq \frac{1}{2} \\ 3 - 2 \sqrt{2} sin (θ + \frac{π}{4}), cos θ < \frac{1}{2} \end{array}$ C、 $L_{P Q}$ 的最小值为 $3 - 2 \sqrt{2}$ D、 $L_{P Q}$ 的最大值为 $3 + 2 \sqrt{2}$

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5、已知定义域为R的 $f (x) = \frac{- 2^{x} + a}{2^{x + 1} + 2}$ 是奇函数，则（）

A、 $a = 1$ B、 $f (x)$ 在R上单调递增 C、 $f (x)$ 的值域为 $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ D、 $f (2 - x^{2}) > f (x)$ 的解集为 $(- \infty, - 2) \cup (1, + \infty)$

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6、已知 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数， $f (2 x + 2)$ 的图象关于 $x = - \frac{1}{2}$ 对称， $f (1) = 1$ ，则 $f (2023) =$ （）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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7、已知实数 $a, b, c$ ，满足 ${log}_{3} a = {(\frac{1}{5})}^{b} = 3^{c}$ ，则下列关系不可能成立的是（）

A、 $b < c < a$ B、 $b < a < c$ C、 $c < b < a$ D、 $c < a < b$

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8、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} - 2 a x + \frac{5}{2} a, x \leq 1 \\ \frac{a}{x}, x > 1 \end{array}$ 是定义在 $R$ 上的减函数，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[1, 2]$ B、 $[1, 2)$ C、 $[1, + \infty)$ D、 $(0, 1]$

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9、著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为 $θ_{1} ° C$ ，空气温度为 $θ_{0} ° C$ ，则 $t$ 分钟后物体的温度 $θ$ （单位： $° C$ )满足： $θ = θ_{0} + (θ_{1} - θ_{0}) e^{- k t}$ .若常数 $k = 0.05$ ，空气温度为 $30 ° C$ ，某物体的温度从 $110 ° C$ 下降到 $40 ° C$ 以下，至少大约需要的时间为（）（参考数据： $\ln 2 \approx 0.69$ ）

A、40分钟 B、41分钟 C、42分钟 D、43分钟

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10、已知集合 $A = {x | - 1 \leq x \leq 3}, B = {x | x \leq 0, x \in Z}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[- 1, 0]$ B、 $\{0, 1, 2, 3\}$ C、 $[0, 3]$ D、 $\{- 1, 0\}$

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11、如图，已知菱形 $A B C D$ 和等边三角形 $B C E$ 有公共边 $B C$ ，点B在线段 $A E$ 上， $B C$ 与 $D E$ 交于点O，将 $△ B C E$ 沿着 $B C$ 翻折成 $△ P B C$ ，得到四棱锥 $P - A B C D$ ， $B C = 2$ ．

(1)、求证：平面 $P B C ⊥$ 平面 $P O D$ ；

(2)、若 $D P = \sqrt{3}$ ，求平面 $P A B$ 与平面 $P B C$ 夹角的余弦值．

(3)、求直线 $P A$ 与平面 $P B C$ 夹角正弦值的最大值．

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12、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 $c \sin 2 B = \frac{2 b \tan C}{\tan B + \tan C}$ ．

(1)、求A；

(2)、若 $a = \sqrt{5}, c = 2$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ 交 $B C$ 于点D，求 $A D$ 的长．

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13、直线 $y = k x + b$ 与函数 $y = e^{x - 2}$ 和 $y = e^{x} - 1$ 的图象都相切，则 $k + b =$ ．

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14、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} + 3 a_{2} + \dots + 3^{n - 1} a_{n} = n \cdot 3^{n}$ ，则 $a_{2025} =$ ．

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15、对于正整数 $n, φ (n)$ 是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目（若两个正整数的最大公因数是1，则称这两个正整数互质）.函数 $φ (n)$ 以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如 $φ (10) = 4$ （10与1，3，7，9均互质），则（）

A、 $φ (20) + φ (25) = 28$ B、若p为质数，则数列 $\{φ (p^{n})\}$ 为等比数列 C、数列 $\{\frac{n}{φ (3^{n})}\}$ 的前5项和等于 $\frac{179}{81}$ D、 $\exists n \in N^{*}$ ，使得 $2 [φ (3^{n}) + φ (4^{n})] = φ (5^{n})$

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16、已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，点 $M (x_{0}, 4)$ 在抛物线C上，直线 $M O, M F$ 分别与l交于A，B，直线 $M F$ 与抛物线C交于另一点N，则（）

A、F的坐标为 $(2, 0)$ B、 $|M F| = 5$ C、 $|A B| = \frac{5}{3}$ D、 $S_{△ O F M} > 2 S_{△ A B N}$

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17、下列说法正确的是（）

A、数据2，1，6，3，4，5，4，1，3的下四分位数是2 B、若数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 的标准差为s，则数据 $2 x_{1}, 2 x_{2}, \dots, 2 x_{n}$ 的标准差为 $2 s$ C、随机变量 $X ~ N (1, σ^{2})$ ，若 $P (X > 0) = \frac{4}{5}$ ，则 $P (0 < X < 2) = \frac{3}{5}$ D、随机变量 $Y ~ B (4, p)$ ，若 $D (Y) = \frac{3}{4}$ ，则 $E (Y) = 1$

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18、记 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，若 $S_{2} = 3, S_{4} = 15$ ，则 $S_{8} =$ （）

A、255 B、127 C、66 D、39

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19、已知角 $α$ 终边上一点 $P (2, 1)$ ，则 $\frac{1 + \sin 2 α}{\cos 2 α} =$ （）

A、 $- 3$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、3

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20、某智能机器人公司从某年起7年的利润情况如下表所示，y关于x的回归直线方程是 $\hat{y} = 0.5 x + 2.3$ ，则该智能机器人公司第4年利润的残差是（）
第x年
1
2
3
4
5
6
7
利润y/亿元
$2.9$
$3.3$
$3.6$
m
$4.8$
$5.2$
$5.9$

A、 $0.1$ 亿元 B、 $0.2$ 亿元 C、 $- 0.1$ 亿元 D、 $- 0.2$ 亿元

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第x年	1	2	3	4	5	6	7
利润y/亿元	$2.9$	$3.3$	$3.6$	m	$4.8$	$5.2$	$5.9$