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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) + B$ ( $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $|φ| < \frac{π}{2}$ )的部分图象如图所示.
（1）求 $f (x)$ 的解析式和对称中心坐标；
（2）将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后将图象向上平移1个单位，得到函数 $g (x)$ 的图象，求函数 $y = g (x)$ 在 $x \in [0, \frac{7 π}{6}]$ 上的最值及对应的 $x$ 的值.

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2、（1）已知角 $α$ 的顶点在坐标原点，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边经过点 $P (m + 1, m - 1)$ ，且 $sin α = \frac{2 m - 2}{3}$ ，求实数 $m$ 的值；
（2）若 $\frac{2 sin (π - β) + 3 sin (\frac{3 π}{2} - β)}{cos (\frac{5 π}{2} - β) + 2 cos (- β)} = \frac{3}{5}$ ，求 $sin β cos β - {sin}^{2} β$ 的值.

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3、（1）求值： $tan 20^{\circ} + tan 40^{\circ} + \sqrt{3} tan 20^{\circ} \cdot tan 40^{\circ}$ ；
（2）已知 $α, β$ 都是锐角， $sin α = \frac{3}{5}, cos (α + β) = \frac{5}{13}$ ，求 $sin (2 α + β)$ 的值.

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4、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 2, |\vec{b}| = 1$ ，且 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为 $60^{°}$ ，

(1)、求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ；

(2)、当向量 $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} - 2 \vec{b}$ 垂直时，求实数 $k$ 的值.

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5、若点 $M$ 是 $Δ A B C$ 所在平面内的一点，且满足 $5 \overset{⇀}{A M} = \overset{⇀}{A B} + 3 \overset{⇀}{A C}$ ，则 $Δ A B M$ 与 $Δ A B C$ 的面积比为．

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6、如图，某港口某天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数 $y = 4 sin (\frac{π}{6} x + φ) + k$ ，据此图象可知，这段时间水深（单位： $m$ ）的最小值为.

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7、已知 $\vec{A B} = (1, 3), A (- 1, 4)$ ，则点 $B$ 的坐标是.

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8、已知函数 $f (x) = cos (ω x + φ) (ω > 0, 0 < φ < π)$ 的部分图象与 $y$ 轴交于点 $(0, \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，与 $x$ 轴的一个交点为 $(1, 0)$ ，如图所示，则下列说法正确的是（）

A、 $φ = \frac{π}{3}$ B、 $f (x)$ 的最小正周期为6 C、 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{11}{2}$ 对称 D、 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{2}, 2 π]$ 上单调递减

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9、下列表达式中，正确的是（）

A、 $cos \frac{π}{12} cos \frac{π}{6} - sin \frac{π}{12} sin \frac{π}{6} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{3} sin x + cos x = 2 sin (x + \frac{π}{6})$ C、 $\frac{1 - tan 15^{\circ}}{1 + tan 15^{\circ}} = \sqrt{3}$ D、 ${cos}^{4} \frac{π}{8} - {sin}^{4} \frac{π}{8} = \frac{1}{2}$

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10、下列说法错误的是（）

A、 $|\vec{A B}| = |\vec{B A}|$ B、单位向量的方向相同或相反 C、零向量没有大小，没有方向 D、平面内的单位向量是唯一存在的

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11、已知函数 $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}$ ，若 $a = tan 171^{\circ}, b = sin 188^{\circ}, c = sin 365^{\circ}$ ，则（）

A、 $f (c) < f (b) < f (a)$ B、 $f (b) < f (a) < f (c)$ C、 $f (b) < f (c) < f (a)$ D、 $f (a) < f (b) < f (c)$

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12、已知向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{2} \vec{b}$ ，且 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$ ，则 $|\vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b}|$ 的值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、1 C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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13、对于任意三个向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ，下列命题中正确的是（）

A、若 $\vec{a} / / \vec{b}, \vec{b} / / \vec{c}$ 则 $\vec{a} / / \vec{c}$ B、 $|\vec{a} - \vec{b}| \leq |\vec{a}| - |\vec{b}|$ C、 $|\vec{a} + \vec{b}| \leq |\vec{a}| + |\vec{b}|$ D、若 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| < |\vec{b}|$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 反向，则 $\vec{a} > \vec{b}$

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14、一个扇形的弧长和面积的数值都是6，则这个扇形圆心角的弧度数为（）

A、 $4 rad$ B、 $3 rad$ C、 $2 rad$ D、 $1 rad$

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15、如图， $A D$ 为 $△ A B C$ 的边 $B C$ 上的中线，且 $\vec{A D} = \vec{a}, \vec{A C} = \vec{b}$ ，那么 $\vec{A B}$ 为（）

A、 $2 \vec{a} - \vec{b}$ B、 $\vec{a} - 2 \vec{b}$ C、 $2 \vec{a} + \vec{b}$ D、 $\vec{a} + 2 \vec{b}$

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16、下列各角中，与 $996^{\circ}$ 终边相同的角为（）

A、 $245^{\circ}$ B、 $84^{\circ}$ C、 $- 84^{\circ}$ D、 $- 276^{\circ}$

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17、已知向量 $\vec{a} = (- 1, 2), \vec{b} = (3, - 5)$ ，则 $\vec{a} + \vec{b}$ 等于（）

A、 $(3, - 3)$ B、 $(2, - 3)$ C、 $(4, - 7)$ D、 $(0, 7)$

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18、杭州第19届亚运会，是亚洲最高规格的国际综合性体育赛事．本届亚运会于2023年9月23日至10月8日在浙江杭州举办．某款亚运会周边产品深受大家喜爱，供不应求，某工厂日夜加班生产该款产品．生产该款产品的固定成本为4万元，每生产 $x$ 万件，需另投入成本 $p (x)$ 万元．当产量不足6万件时， $p (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x$ ；当产量不小于6万件时， $p (x) = 7 x + \frac{81}{x} - \frac{63}{2}$ ．若该款产品的售价为6元/件，通过市场分析，该工厂生产的该款产品可以全部销售完．

(1)、求该款产品销售利润 $y$ （万元）关于产量 $x$ （万件）的函数关系式；

(2)、当产量为多少万件时，该工厂在生产中所获得利润最大？

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19、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是矩形，侧棱 $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，点 $E$ 是 $P D$ 的中点， $A B = 1$ ， $A D = P A = 2$ ．

(1)、求 $P C$ 与 $A E$ 所成角的大小；

(2)、求 $P C$ 与平面 $A C E$ 所成角的正弦值．

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20、已知函数 $f (x) = A sin (ω x + \frac{π}{3}) (A > 0, ω > 0)$ 最小值为 $- 2$ ，周期为 $π$ .

(1)、求实数 $A, ω$ 的值；

(2)、当 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 时，求函数 $f (x)$ 的值域.

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