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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = a ln x + \frac{3}{2} x^{2} - (a + 3) x$ ， $a \in R$ .

(1)、若曲线 $f (x)$ 在点 $(2, f (2))$ 处的切线斜率为4，求 $a$ 的值；

(2)、当 $a > 0$ 时，讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(3)、已知 $f (x)$ 的导函数在 $x \in (1, e)$ 上存在零点，求证：当 $x \in (1, e)$ 时， $f (x) > - \frac{3 e^{2}}{2}$ .

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2、如图，已知正方形 $A B C D$ 和等腰梯形 $A E F C$ 所在的平面互相垂直， $E F ∥ A C$ ， $A B = 2 \sqrt{2}$ ， $E F = 2$ .

(1)、求证： $A E / /$ 平面 $B F D$ ；

(2)、若 $A F ⊥ C F$ ，求二面角 $B - E F - D$ 的正弦值.

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3、已知a，b，c分别为 $△ A B C$ 的三个内角A，B，C的对边，且 $a cos C + \sqrt{3} a sin C - b - c = 0$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若边 $B C$ 上的高为 $\sqrt{3}$ ，且 $△ A B C$ 的周长为6，求 $a$ .

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4、已知 $n$ 为正整数，有穷数列 $a_{k} = 3^{k} (1 \leq k \leq n)$ 中所有可能的乘积 $a_{i} a_{j} (1 \leq i \leq j \leq n)$ 的和记为 $T_{n}$ ．例如，当 $n = 3$ 时， $T_{3} = a_{1}^{2} + a_{1} a_{2} + a_{1} a_{3} + a_{2}^{2} + a_{2} a_{3} + a_{3}^{2}$ ，则数列 $\{\frac{3^{n}}{T_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和为．

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5、过原点的直线 $l$ 与圆 $C : {(x - 3)}^{2} + y^{2} = 2$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，若三角形 $A B C$ 的面积为 $1$ ，则直线 $l$ 的方程为.

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6、已知 $(1 + \frac{a}{x}) {(1 + x)}^{4}$ 的展开式中含 $x$ 项的系数为16，则 $a =$ .

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7、如图， $A B C D$ 是边长为2的正方形， $A A_{1}$ ， $B B_{1}$ ， $C C_{1}$ ， $D D_{1}$ 都垂直于底面 $A B C D$ ，且 $D D_{1} = \frac{3}{2} A A_{1} = \frac{3}{2} C C_{1} = 3 B B_{1} = 6$ ，点 $E$ 在线段 $C C_{1}$ 上，平面 $B E D_{1}$ 交线段 $A A_{1}$ 于点 $F$ ，点 $G$ 在线段 $D D_{1}$ 上，则（）

A、存在 $G$ ，使得 $A_{1} G //$ 面 $D C_{1} B$ B、若 $G$ 是 $D D_{1}$ 的中点，则 $B_{1} G ⊥ A_{1} D$ C、过四点 $A_{1}$ ， $C_{1}$ ， B，D四点的外接球体积为 $8 \sqrt{6} π$ D、截面四边形 $B E D_{1} F$ 的周长的最小值为 $4 \sqrt{13}$

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8、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $a b = a + b + 3$ ，则 $a b \geq 9$ B、 $a^{2} + \frac{4}{a^{2} + 3}$ 的最小值为1 C、若 $a + b = 9$ ，则 $\frac{36}{a} + \frac{a}{b}$ 的最小值为8 D、若 $\sqrt{a} + \sqrt{5 b} \leq k \sqrt{a + b}$ 恒成立，则 $k$ 的最小值为 $\sqrt{5}$

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9、已知函数 $f (x) = A sin (ω x - \frac{π}{3})$ （其中 $A > 0$ ， $ω > 0$ ）的最大值为 $2$ ，其图象的相邻两条对称轴之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $ω = 2$ B、函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 单位后关于原点对称 C、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{3}, 0)$ 对称 D、函数 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{3}]$ 上单调递增

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10、在棱长为 $4$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 、 $N$ 分别为 $A B$ 、 $C C_{1}$ 的中点，过直线 $M N$ 的平面 $α$ 截该正方体所得截面 $Γ$ ，则当平面 $α$ 与平面 $A B C D$ 的所成角为最小时，截面 $Γ$ 的面积为（）

A、 $8 \sqrt{5}$ B、 $3 \sqrt{30}$ C、 $12 \sqrt{3}$ D、 $\frac{14 \sqrt{11}}{3}$

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11、已知 $sin 2 α = 2 sin 2 β$ ， $cos 2 α = 4 {sin}^{2} β$ ，则 $cos (2 α + β) =$ （）

A、0 B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、1 D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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12、下列说法错误的是（）

A、若随机变量 $X \sim N (μ, σ^{2})$ ，则当 $σ$ 较小时，对应的正态曲线“瘦高”，随机变量 $X$ 的分布较集中 B、在做回归分析时，用决定系数 $R^{2}$ 刻画模型的回归效果，若 $R^{2}$ 越大，则说明模型拟合的效果越好 C、若样本数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 的平均数为3，则 $3 x_{1} + 1, 3 x_{2} + 1, \dots, 3 x_{n} + 1$ 的平均数为10 D、一组数据6，7，7，8，10，12，14，17，19，21的第80百分位数为17

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13、“ $a \in R$ 且复数 $(a + i) (1 - a i) \in R$ ”是“ $a = 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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14、已知双曲线 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 和 $C_{2} : \frac{y^{2}}{b^{2}} - \frac{x^{2}}{a^{2}} = 1$ ，其中 $a > 0, b > 0$ ，且 $a \neq b$ ，则（）

A、 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 虚轴长相等 B、 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 焦距相等 C、 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 离心率相等 D、 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 渐近线相同

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15、已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} a x^{3} - x^{2} + a^{2} x + 1$ ，当 $x = 1$ 时， $f (x)$ 有极大值，则 $a =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、0 D、 $- 2$ 或1

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16、已知函数 $f (x) = \frac{a e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$ 为奇函数.

(1)、求a的值；

(2)、利用定义证明 $y = f (x)$ 在 $R$ 上单调递增；

(3)、若存在 $x \in [1, 3]$ ，使得 $f (k \cdot 4^{x} - 3) + f (2^{x}) > 0$ 成立，求k的取值范围.

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17、已知圆锥的顶点为 $S$ ， $A B$ 为底面直径， $△ S A B$ 是面积为1的直角三角形，则（）

A、该圆锥的母线长为 $\sqrt{2}$ B、该圆锥的体积为 $\frac{1}{3} π$ C、该圆锥的侧面积为 $π$ D、该圆锥的侧面展开图的圆心角为 $\sqrt{2} π$

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18、已知函数 $f (x) = x + \frac{1}{x} (x > 0)$ ， $g (x) = x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + a f (x) (a \in R, x > 0)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的值域；

(2)、讨论 $g (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上的单调性；

(3)、设 $a < 0$ ， $M = min \{- 6, - \frac{3}{8} a^{2}\}$ ，证明： $g (x) \geq M$ .

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19、 $A = 1 + a^{2}$ ， $B = 1 - a$ ， $C = \frac{1}{1 + a}$ ， $D = \frac{1}{1 - a}$ 为四个互不相等的实数.若A､B､C､D中C最大，求实数a的取值范围，并求出A､B､C､D中最小的数.

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20、某工厂生产某种零件的固定成本为20000元，每生产一个零件要增加投入100元，已知总收入 $Q$ （单位：元）关于产量 $x$ （单位：个）满足函数： $Q = \{\begin{array}{l} 400 x - \frac{1}{2} x^{2}, 0 \leq x \leq 400 \\ 80000, x > 400 \end{array}$ .

(1)、将利润 $P$ （单位：元）表示为产量 $x$ 的函数；（总收入=总成本+利润）

(2)、当产量为何值时，零件的单位利润最大?最大单位利润是多少元?（单位利润 $=$ 利润 $\div$ 产量）

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