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相关试卷

1、已知函数 $f (x) ＝ \{\begin{cases} x \ln (\sqrt{1 ＋ x^{2}} ＋ x) + a, x < 0 \\ \cos x, x \geq 0 \end{cases}$ ，若 $f (x)$ 存在最小值，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[- 1, + \infty)$ B、 $(- 1, + \infty)$ C、 $[0, + \infty)$ D、 $(0, + \infty)$

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2、在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ．已知 $A ＝ 120^{\circ}$ ，且 $A$ 的内角平分线 $A D ＝ \sqrt{3}$ ，则 $△ A B C$ 面积的最小值为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{3}$ C、3 D、 $3 \sqrt{3}$

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3、如图，已知矩形 $A B C D$ 的边长满足 $A B = 2 A D = 4$ ，以 $A$ 为圆心的圆与 $B D$ 相切于 $P$ ，则 $\vec{A P} \cdot \vec{A C} ＝$ （）

A、 $\frac{32}{5}$ B、 $\frac{36}{5}$ C、8 D、 $4 \sqrt{5}$

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4、若 ${(\frac{1}{x} ＋ a x^{2} ＋ 1)}^{5}$ 的展开式中的常数项为31，则 $a =$ （）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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5、将函数 $f (x) = 4 \cos (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，则下列结论正确的是（）

A、 $g (x)$ 是奇函数 B、 $g (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{12}$ 对称 C、 $g (x)$ 在 $[- \frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ 上的值域为 $[- 2 ， 4]$ D、 $g (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上单调递增

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6、已知抛物线 $Γ ： y^{2} ＝ 2 p x (p > 0)$ 上的点 $A$ 的横坐标为4，抛物线 $Γ$ 的焦点为 $F$ ．若 $|A F| = 5$ ，则 $p$ 的值为（）

A、18 B、9 C、4 D、2

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7、设集合 $A ＝ {x \in N ∣ (x - 2) (x - 10) \leq 0} ， B ＝ {x ∣ x ＝ 2 n, n \in N}$ ，则 $A \cap B$ 的元素个数为（）

A、6 B、5 C、4 D、3

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8、复平面上 $A ， B$ 两点对应的复数分别是 $1 ＋ 3 i ， - 2 ＋ i$ ，向量 $\vec{A B}$ 对应的复数为 $z$ ，则 $|z| ＝$ （）

A、17 B、 $\sqrt{17}$ C、13 D、 $\sqrt{13}$

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9、已知数表 $A_{2 n} = (\begin{array}{l} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \end{array})$ ，其中 $a_{i j} (i = 1, 2; j = 1, 2, \dots, n)$ 表示数表中第 $i$ 行第 $j$ 列的实数， $a_{i j}$ 互不相同，且满足下列条件：① $a_{i j} \in \{x \in N | 1 \leq x \leq 2 n\}$ ；② ${(- 1)}^{m + 1} (a_{1 m} - a_{2 m}) < 0 (m = 1, 2, \dots, n)$ .

(1)、对于数表 $A_{22}$ ，若 $a_{12} = 4$ ，写出所有满足条件的数表 $A_{22}$ ；

(2)、对于数表 $A_{2 n}$ ，当 $a_{11} + a_{12} + \cdot \cdot \cdot + a_{1 n}$ 取最小值时，求证：存在正整数 $k (1 \leq k \leq n)$ ，使得 $a_{2 k} = 2 n$ ；

(3)、对于数表 $A_{2 n}$ ，当n为偶数时，求 $a_{11} + a_{12} + \cdot \cdot \cdot + a_{1 n}$ 的最大值.

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10、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为 $4$ ，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、设 $F$ 为 $C$ 的左焦点， $T$ 为直线 $x = - 3$ 上任意一点，过 $F$ 作 $T F$ 的垂线交 $C$ 于点 $P$ ， $Q$ .
（i）证明： $O T$ 平分线段 $P Q$ （其中 $O$ 为坐标原点）；
（ii）设线段 $P Q$ 的中点为 $M$ ，若 $△ O F T$ 与 $△ O P M$ 面积之积是 $\sqrt{2}$ ，求点 $T$ 的纵坐标.

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11、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D = 2$ ， $A B = B C = C D = 1$ ， $B C / / A D$ .

(1)、证明：平面 $P A B ⊥$ 平面 $P B D$ ；

(2)、若 $A D$ 与平面 $P B D$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ ，求二面角 $C - P D - B$ 的余弦值.

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12、已知公差不为零的等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{5} = 20$ ，且 $a_{1}$ ， $a_{3}$ ， $a_{7}$ 成等比数列．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = a_{n} + 3^{a_{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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13、如图是一座抛物线型拱桥，当水面在l时，拱顶离水面 $2 m$ ，水面宽 $4 m$ ．当水位下降，水面宽为 $6 m$ 时，拱顶到水面的距离是 $m$ ．

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14、若 $\vec{a}$ $= (0, 1, - 1)$ ， $\vec{b}$ $= (1, 1, 0)$ ，且 $(\vec{a} + λ \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则实数 $λ$ 的值是

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15、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $2$ ，点 $E$ 为 $B C$ 中点，动点 $F$ 在正方形 $C D D_{1} C_{1}$ 内（包括边界），则下列说法正确的是（）

A、若 $E F // D_{1} B$ ，则 $E F$ 的长度是 $\sqrt{2}$ B、若 $B_{1} F //$ 平面 $A_{1} B D$ ，则 $F C_{1}$ 的最小值是 $\sqrt{2}$ C、若 $A_{1} E ⊥ B F$ ，则点 $F$ 的轨迹长度是 $\sqrt{2}$ D、若 $C_{1} F ⊥$ 平面 $A_{1} C F$ ，则点 $F$ 的位置唯一

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16、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的公比为q，前n项和 $S_{n} > 0$ ，设 $b_{n} = a_{n + 2} - \frac{3}{2} a_{n + 1}$ ，记 $\{b_{n}\}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，则下列判断正确的是（）

A、若 $q = 1$ ，则 $T_{n} = S_{n}$ B、若 $q > 2$ ，则 $T_{n} > S_{n}$ C、若 $q = - \frac{1}{4}$ ，则 $T_{n} > S_{n}$ D、若 $q = - \frac{3}{4}$ ，则 $T_{n} > S_{n}$

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17、已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 1$ ， $C_{2} : {(x - 3)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = r^{2} (r > 0)$ ，则下列说法正确的是（）

A、当 $r = 1$ 时，圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 相离 B、当 $r = 2$ 时， $y = 1$ 是圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 的一条公切线 C、当 $r = 3$ 时，圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 相交 D、当 $r = 4$ 时，圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 的公共弦所在直线方程是 $y = - x + \frac{1}{2}$

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18、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，过 $F$ 的直线 $4 x + 3 y + m = 0$ （ $m$ 为常数）与 $C$ 在第一象限交于点 $P$ .若 $|O P| = |O F|$ （ $O$ 为原点），则 $C$ 的离心率是（）

A、 $\frac{\sqrt{35}}{5}$ B、 $\frac{7}{5}$ C、 $\sqrt{5}$ D、5

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19、已知 $f (x) = \frac{\ln x}{x}$ ，若 $f^{'} (x_{0}) = 1$ ，则（）

A、 $\ln x_{0} = - x_{0} + 1$ B、 $\ln x_{0} = x_{0} - 1$ C、 $\ln x_{0} = - x_{0}^{2} + 1$ D、 $\ln x_{0} = x_{0}^{2} + 1$

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20、如图，八面体的每个面都是正三角形，若四边形 $A B C D$ 是边长为4的正方形，则（）

A、异面直线 $A E$ 和 $D F$ 所成的角为 $\frac{π}{3}$ B、平面 $F A D$ 和平面 $E B C$ 有相同的法向量 C、异面直线 $A B$ 和 $E C$ 的距离为 $\frac{4}{3} \sqrt{6}$ D、二面角 $A - E B - C$ 的余弦值为 $\frac{1}{3}$

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