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相关试卷

1、已知集合 $M = \{x \in N |x \leq 2\}$ ， $N = \{x |\frac{x + 6}{x - 2} \leq 0\}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $\{1\}$ B、 $\{0, 1\}$ C、 $\{1, 2\}$ D、 $\{0, 1, 2\}$

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2、如图， $△ O^{'} A^{'} B^{'}$ 是水平放置的 $△ O A B$ 的直观图，则 $△ O A B$ 的面积为（）

A、6 B、9 C、12 D、15

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3、在三维空间中，单位立方体的顶点坐标可用三维坐标 $(a_{1}, a_{2}, a_{3})$ 表示，其中 $a_{i} \in \{0, 1\} (1 \leq i \leq 3, i \in N)$ .而在 $n$ 维空间中 $(n \geq 2, n \in N)$ ，以单位立方体的顶点坐标可表示为 $n$ 维坐标 $(a_{1}, a_{2}, a_{3}, \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot, a_{n})$ ，其中 $a_{i} \in \{0, 1\} (1 \leq i \leq n, i \in N)$ .现有如下定义：在 $n$ 维空间中， $P (a_{1}, a_{2}, a_{3}, \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot, a_{n})$ ， $Q (b_{1}, b_{2}, b_{3}, \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot, b_{n})$ 两点的曼哈顿距离为 $|a_{1} - b_{1}| + |a_{2} - b_{2}| + |a_{3} - b_{3}| + \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot + |a_{n} - b_{n}|$

(1)、在3维单位立方体中任取两个不同顶点，试求所取两点的曼哈顿距离为1的概率；

(2)、在 $n (n \geq 2)$ 维单位立方体中任取两个不同顶点，记随机变量 $X$ 为所取两点间的曼哈顿距离
（i）求出 $X$ 的分布列与期望；
（ii）证明：随机变量 $X$ 的方差小于 $\frac{n}{4}$ .

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4、已知函数 $f (x) = x ln (x + a - 1), g (x) = e^{x} + cos x - 1$ ，其中 $e = 2.718 \dots$ 为自然对数的底数.

(1)、当 $a = 1$ 时，若过点 $(m, m)$ 与函数 $f (x)$ 相切的直线有两条，求 $m$ 的取值范围；

(2)、若 $0 \leq a \leq 1$ ，当 $x > 1 - a$ 时，证明： $f (x) < g (x)$ .

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5、已知 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $b^{2} + a c = a^{2} + c^{2}$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $b = 2, △ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $a$ .

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6、已知菱形 $A B C D$ 的边长为2，且 $∠ A B C = \frac{π}{3}$ ，点M，N分别为线段 $A B$ ， $C D$ 上的动点，沿 $D M$ 将 $△ A D M$ 翻折至 $△ A^{'} D M$ ，若点C在平面 $A^{'} D M$ 内的射影恰好落在直线 $D M$ 上，则当线段 $A^{'} N$ 最短时，三棱锥 $A^{'} - C M N$ 的体积为.

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7、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $0 < a_{1} < 1, e^{a_{n + 1}} = (3 - a_{n}) \cdot e^{a_{n}}$ ，则下列说法不正确的是（）

A、数列 $\{a_{n}\}$ 为递减数列 B、存在 $n \in N^{*}$ ，使得 $a_{n} < 0$ C、存在 $n \in N^{*}$ ，使得 $a_{n} > 2$ D、存在 $n \in N^{*}$ ，使得 $a_{n} > \frac{4}{3}$

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8、设随机变量X~N(0，1)， $f (x) = P (X \leq x)$ ，其中x>0，则下列等式成立的有（）

A、f(-x)=1-f(x) B、 $f (2 x) = 2 f (x)$ C、f(x)在(0，+∞)上是单调增函数 D、 $P (|X| \leq x) = 2 f (x) - 1$

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9、已知两个复数 $z_{1}, z_{2}$ 满足 $z_{1} z_{2} = i$ ，且 $z_{1} = 1 - i$ ，则下面选项正确的是（）

A、 $z_{2} = \frac{1 + i}{2}$ B、 $|z_{1}| = \frac{1}{|z_{2}|}$ C、 $|z_{1} + z_{2}| \geq 2$ D、 ${\bar{z}}_{1} {\bar{z}}_{2} = - i$

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10、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $A, B$ 两点.若 $△ A B F_{1}$ 的内切圆的周长为 $\frac{4 \sqrt{5} π}{9}$ ，则直线 $l$ 的方程是（）

A、 $y = \frac{1}{3} x - \frac{1}{3}$ 或 $y = \frac{1}{3} - \frac{1}{3} x$ B、 $y = 3 x - 3$ 或 $y = 3 - 3 x$ C、 $y = \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}$ 或 $y = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} x$ D、 $y = 2 x - 2$ 或 $y = 2 - 2 x$

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11、在平面四边形 $A B C D$ 中，已知 $△ A B C$ 的面积是 $△ A C D$ 的面积的2倍.若存在正实数 $x, y$ 使得 $\vec{A C} = (\frac{1}{x} - 4) \vec{A B} + (1 - \frac{1}{y}) \vec{A D}$ 成立，则 $2 x + y$ 的最小值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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12、函数 $f (x) = (\frac{1}{x} - x) cos x (- π \leq x \leq π$ 且 $x \neq 0)$ 的图象可以是（）

A、 B、 C、 D、

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13、如图，用4种不同的颜色对A，B，C，D四个区域涂色，要求相邻的两个区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方法有（）

A、24种 B、48种 C、72种 D、96种

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14、若 $cos (α - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $sin 2 α =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $- \frac{1}{3}$

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15、某商场开通三种平台销售商品，五一期间这三种平台的数据如图1所示．该商场为了解消费者对各平台销售方式的满意程度，用分层抽样的方法抽取了6%的顾客进行满意度调查，得到的数据如图2所示．下列说法正确的是（）

A、样本中对平台一满意的消费者人数约700 B、总体中对平台二满意的消费者人数为18 C、样本中对平台一和平台二满意的消费者总人数为60 D、若样本中对平台三满意的消费者人数为120，则 $m = 90 %$

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16、已知命题 $p : \forall n \in N^{*}, n^{2} > n - 1$ ，则命题 $p$ 的否定 $\neg p$ 为（）

A、 $\forall n \in N^{*}, n^{2} < n - 1$ B、 $\forall n \in N^{*}, n^{2} \leq n - 1$ C、 $\exists n \in N^{*}, n^{2} < n - 1$ D、 $\exists n \in N^{*}, n^{2} \leq n - 1$

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17、已知集合 $A = \{x | x^{2} - x - 2 ＜ 0\} ， B = \{x | \log_{\frac{1}{2}} x ＜ 1\}$ ，则 $A \cap (∁_{R} B) =$ （），

A、 $(- 1, \frac{1}{2}]$ B、 $(- 1, \frac{1}{2})$ C、 $(- 1, 2)$ D、 $[\frac{1}{2}, 1)$

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18、已知函数 $f (x) = e^{x} - 6 k x + 1, g (x) = k x^{3} + 2, k \in R$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、令 $h (x) = f^{'} (x) - g^{'} (x)$ ，当 $k = 1$ 时，求 $h (x)$ 的极值点个数；

(3)、令 $φ (x) = f (x) - g (x)$ ，当 $φ (x)$ 有且仅有两个零点时，求 $k$ 的取值范围.

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19、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 底面 $A B C D, P A = P D$ ，底面 $A B C D$ 为平行四边形， $B C = 2 \sqrt{3}, C D = \sqrt{6}, E$ 为边 $B C$ 的中点， $∠ B C D = \frac{π}{4}$ .

(1)、求证： $P A ⊥ D E$ ；

(2)、已知二面角 $P - B C - D$ 的平面角等于 $\frac{π}{3}$ ，则在线段 $A B$ 上是否存在点 $M$ ，使得 $M$ 到平面 $P B C$ 的距离为 $\frac{3}{4}$ ，若存在，指出点 $M$ 的位置；若不存在，说明理由.

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20、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x$ 的焦点为 $F$ ，点 $F$ 在直线 $2 x + 3 y - 2 = 0$ 上， $A, B$ 是抛物线 $C$ 上两个不同的点.

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、设直线 $O A, O B$ 的斜率为 $k_{O A}, k_{O B}$ ，若 $k_{O A} \cdot k_{O B} = - 2$ ，证明：直线 $A B$ 过定点，并求定点坐标.

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