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相关试卷

1、已知定义域为R的可导函数 $y = f (x)$ 的导函数为 $y = f^{'} (x)$ ，若函数 $y = f (x)$ 为偶函数，且 $f (1 + x) = - f (1 - x)$ ，设 $g (x) = \{\begin{matrix} (x - 1) f (x) + x (x \geq 0) \\ f (x + 2) + x^{2} (x < 0) \end{matrix}$ ，则（）

A、 $f (1) + f (2) + f (3) + \dots + f (2023) = 0$ B、 $f^{'} (1) + f^{'} (2) + f^{'} (3) + \dots + f^{'} (2023) = 0$ C、 $g^{'} (3) - 2 g^{'} (- 3) = 13$ D、函数 $y = g (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程为 $y = x$

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2、下列命题正确的是（）

A、若数列 ${a_{n}}, {b_{n}}$ 均为等差数列，则数列 ${a_{n} + b_{n}}$ 为等差数列 B、若数列 ${a_{n}}, {b_{n}}$ 是公比相同的等比数列，则数列 ${a_{n} + b_{n}}$ 为等比数列 C、若数列 ${a_{n}}$ 为等差数列，则数列 ${2^{a_{n}}}$ 为等比数列 D、存在非零实数 $λ$ 使得数列 ${\frac{1}{2^{n} + λ}}$ 为等比数列

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3、将函数 $y = \sin x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，得到函数 $y = f (x)$ 的图象，则（）

A、函数 $f (x)$ 的最大值为 $\frac{1}{2}$ B、函数 $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{π}{2})$ 上单调递增 C、函数 $f (x)$ 关于直线 $x = \frac{5 π}{6}$ 对称 D、函数 $f (x)$ 的所有非负零点组成的递增数列 ${x_{n}}$ 是首项为 $\frac{π}{12}$ ，公差为 $\frac{π}{2}$ 的等差数列

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4、已知正数 $a, b$ 满足等式 $a^{2} - b = 2 (2 ln b - ln a)$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $0 < b < 1$ ，则 $a > b$ B、若 $b > 1$ ，则 $a > b$ C、若 $0 < a < 1$ ，则 $a < b^{2}$ D、若 $a > 1$ ，则 $a < b^{2}$

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5、在锐角 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若 $\frac{1}{\tan B} + \frac{1}{\tan C} = \frac{3}{b c \cdot \sin A}$ ，且 $△ A B C$ 的外接圆面积为 $π$ ，则 $A =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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6、已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin x \cos x - 2 \sin^{2} x$ ，若 $f (x)$ 在区间 $[θ, \frac{π}{3}]$ 上是单调函数，则实数 $θ$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{π}{6}, \frac{π}{3})$ B、 $[\frac{π}{12}, \frac{π}{3})$ C、 $[- \frac{π}{12}, \frac{π}{3})$ D、 $[- \frac{π}{6}, \frac{π}{3})$

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7、如图，在边长为2的正三角形ABC中，D为BC的中点， $\vec{A B} = 3 \vec{A E}$ ，则 $\vec{A D} \cdot \vec{C E} =$ （）

A、 $2$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $- 2$ D、 $- \frac{4}{3}$

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8、已知向量 $\vec{a} = (\cos θ, \sin θ)$ ， $\vec{b} = (2, - 1)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $\frac{\sin θ + \cos θ}{\sin θ + 3 \cos θ}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{2}{3}$

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9、已知复数 $z = \frac{1 + i}{a + i}$ （其中a为实数，i为虚数单位），若 $| z | = \sqrt{2}$ ，则 $z =$ （）

A、 $\sqrt{2} i$ B、 $1 + i$ C、 $1 - i$ D、 $- \sqrt{2} i$

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10、已知集合 $M = {x | x (x - 1) < 0}$ ， $N = {x | - 1 < x < 1}$ ，则（）

A、 $M \cap N = \emptyset$ B、 $M \cap N = N$ C、 $M \cup N = M$ D、 $M \cup N = N$

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11、如图，已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，沿EF将四边形EFCD折起，使二面角 $A - E F - C$ 的大小为60°，点M在线段AB上.

(1)、若M为AB的中点，且直线MF与直线EA的交点为O，求OA的长，并证明直线 $O D / /$ 平面EMC；

(2)、是否存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为60°；若存在，求此时二面角 $M - E C - F$ 的余弦值，若不存在，说明理由.

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12、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点E为 $A_{1} C_{1}$ 的中点，若 $\vec{A E} = \vec{A A_{1}} + x \vec{A B} + y \vec{A D}$ ，（x， $y \in R$ ）则x，y的值分别为（）

A、1，1 B、1， $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$ ， 1

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13、已知 $f (x) = x + \frac{a}{x} + 2$ ， $x \in [1, + \infty)$ .

(1)、当 $a = \frac{1}{2}$ 时，用单调性定义证明函数 $y = f (x)$ 的单调性，并求出函数 $y = f (x)$ 的最小值；

(2)、若对任意 $x \in [1, + \infty)$ ， $f (x) > 0$ 恒成立，试求实数 $a$ 的取值范围；

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14、已知函数 $f (x) = a^{x} + b$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）.

(1)、若函数 $f (x)$ 的图象过 $(0, 2)$ 和 $(2, 10)$ 两点，求 $f (x)$ 在 $[0, 1]$ 上的值域；

(2)、若 $0 < a < 1$ ，且函数 $f (x)$ 在区间 $[2, 3]$ 上的最大值比最小值大 $\frac{a^{2}}{2}$ ，求 $a$ 的值.

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15、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + b = 1$ ，则（）

A、 $a b \leq \frac{1}{4}$ B、 $a^{2} + b^{2} \geq \frac{1}{2}$ C、 $a^{2} + b^{2} \geq 1$ D、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \leq 4$

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16、已知 $a = 3^{0.5}, b = {0.5}^{3}, c = \sqrt{5}$ ，则（）

A、 $b < a < c$ B、 $a < b < c$ C、 $b < c < a$ D、 $c < b < a$

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17、命题 $\forall x > 1$ ， $x^{2} - m > 1$ 的否定是（）

A、 $\exists x > 1$ ， $x^{2} - m \leq 1$ B、 $\exists x \leq 1$ ， $x^{2} - m \leq 1$ C、 $\forall x > 1$ ， $x^{2} - m \leq 1$ D、 $\forall x \leq 1$ ， $x^{2} - m \leq 1$

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18、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 是菱形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D, ∠ A B C = 60^{\circ}$ ， $P A = \frac{1}{2} A B = 1, E, F$ 分别是线段 $B D$ 和 $P C$ 上的动点，且 $\frac{B E}{B D} = \frac{P F}{P C} = λ (0 < λ \leq 1)$ ．

(1)、求证： $E F / /$ 平面 $P A B$ ；

(2)、求直线 $D F$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值的最大值；

(3)、若直线 $A E$ 与线段 $B C$ 交于M点， $A H ⊥ P M$ 于点H，求线段 $C H$ 长的最小值．

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19、如图1，在边长为4的菱形 $A B C D$ 中， $∠ D A B = 60 °$ ，点M，N分别是边 $B C$ ， $C D$ 的中点， $A C \cap B D = O_{1}$ ， $A C \cap M N = G$ ．沿 $M N$ 将 $△ C M N$ 翻折到 $△ P M N$ 的位置，连接 $P A$ ， $P B$ ， $P D$ ，得到如图2 所示的五棱锥 $P - A B M N D$ ．

(1)、在翻折过程中是否总有平面 $P B D ⊥$ 平面 $P A G$ ？证明你的结论；

(2)、若平面 $P M N ⊥$ 平面 $M N D B$ ，线段 $P A$ 上是否存在一点Q，使得平面 $Q D N$ 与平面 $P M N$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{13}}{13}$ ？若存在，试确定点Q的位置；若不存在，请说明理由．

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20、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A ⊥ P D$ ， $P A = P D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B = 1$ ， $A D = 2$ ， $A C = C D = \sqrt{5}$ ．

(1)、求直线 $P B$ 与平面 $P C D$ 所成角的正切值；

(2)、在 $P A$ 上是否存在点 $M$ ，使得 $B M / /$ 平面 $P C D$ ？若存在，求 $\frac{A M}{A P}$ 的值；若不存在，说明理由．

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